Linear Algebra

선형결합의 정의는 다음과 같다. $V$는 벡터 공간이고, $S$는 $V$의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자. 유한개의 벡터 $u_1, u_2, ..., u_n \\in S$와 스칼라 $a_1, a_2, ..., a_n$에 대하여 다음을 만족하는 벡터 $v \\in V$

앞에서 span에 대해 다루었다. 그렇다면 아래와 같은 상황을 생각해보자. 벡터 $u_1 = (2, -1, 4), u_2 = (1, -1, 3), u_3 = (1, 1, -1), u_4 = (1, -2, -1)$에 대해, 집합 $S = {u_1, u_2, u_3, u_

앞에서 span에 대해 다루었다. 그렇다면 아래와 같은 상황을 생각해보자. 벡터 $u_1 = (2, -1, 4), u_2 = (1, -1, 3), u_3 = (1, 1, -1), u_4 = (1, -2, -1)$에 대해, 집합 $S = {u_1, u_2, u_3, u_

선형 변환의 정의를 먼저 살펴보자. $V$와 $T$는 모두 $F$ 벡터 공간이라 하자. 모든 $x, y \\in F$에 대하여 다음을 모두 만족하는 함수 $T : V \\to W$를 $V$에서 $W$로 가는 선형 변환이라고 한다. 1\. $T(x + y) = T(x)

유한차원 벡터공간 $V$의 순서기저는 순서가 주어진 기저를 의미한다. 즉, 기저벡터들이 유한수열의 형태로 주어지는 것을 순서기저라고 한다. 이를 이용하면 이제 좌표벡터를 우리는 표현할 수 있다. 정의 1. 유한차원 벡터공간 $V$의 순서기저를 $\\beta = {u1,

이전까지 선형이 무엇인지, 선형변환이 어떻게 행렬과 이어지는지 공부했다. 이제 행렬에 대해 본격적으로 다루기에 앞서 다양한 행렬의 성질과 연산을 배워보자. $m \\times n$ 행렬 $aA$에 대하여 $A$의 행에 대한 다음 세 연산을 기본행연산(elementary

단사함수와 전사함수는 이미 고등학교 수학 과정에 포함되어 있는 익숙한 내용이다. 고등학교에서는 2차원 공간으로 한정지어 배울 따름이다. 이제 이를 일반화하면 된다. 단사함수란 일대일 함수를 의미한다. 즉 치역의 각 원소에 대응하는 정의역의 원소가 최대 1개인 함수를 의

행렬식은 일종의 함수로서 정사각행렬의 집합을 정의역으로 하고 스칼라를 함숫값으로 한다. 행렬식을 이용해 다양한 정리가 유도되기 때문에 짚고 넘어가도록 하자. 우선 가장 간단한 2차 정사각행렬의 행렬식을 다루면서 행렬식에 대한 감을 잡아보자. $2 \\times 2$ 행

행렬식을 실제로 사용할 때 필요한 다양한 성질을 다뤄보도록 하자. 이전에 다룬 내용을 잠시 정리하자면 다음과 같다. $det(I) = 1$상삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱과 같다. 행렬에 기본행연산을 가하는 것은 기본행연산을 가한 상태의 항등행렬을 해당 행렬에 곱하는

고유값, 고유벡터는 정말 많이 등장하는 개념이다. rnn에서 왜 vanishing gradient가 발생하는지 이야기할 때도 나오고, 추천 시스템에서 SVD가 어떻게 활용될 수 있는지 이야기할 때도 나오게 된다. 하나씩 보면서 정확한 개념과 그 원리를 이해해보도록하자.

이전의 장에서 어떤 선형연산자가 대각화가능하기 위한 필요충분 조건은 해당 연산자의 고유벡터로 이루어진 순서기저가 존재해야 한다고 했다. 하지만 모든 선형연산자 혹은 행렬이

내적은 정말 자주 쓰는 개념이다. 유사도를 비교하든, 두 벡터에 일정한 연산의 일종으로 사용하든, 딥러닝 공부하면서 자주 접했다. 놈 역시 내적과 밀접한 관련을 맺고 있는데, 이 개념들을 다시 정리해보도록 하자. 내적의 정의는 우선 다음과 같다. 정의 1. $F$-벡터

이전에 벡터공간을 구성하는 기본 벡터를 기저라고 한다고 했다. 내적공간을 구성하는 기본조각은 정규직교집합인 기저가 된다. 이를 자세히 살펴보도록 하자. 정의 1. 내적공간 $V$의 부분집합이 정규직교집합인 순서기저 때, 이 부분집합을 정규직교기저라 한다.

이전에 행렬 $A$에 대한 켤레 전치행렬 $A^\*$를 정의했었다. 행렬과 연산자는 뗄레야 뗄 수 없는 관계이기 때문에, 켤레 전치행렬에 대한 연산자 역시 따로 정의되어 있다. 정의 1. $V$의 임의의 정규직교기저 $\\beta$에 대한 행렬표현이 $T\_\\beta

내적 공간에서 켤레전치행렬의 성질을 계속 다루고 있다. 이전에 대각화가능을 진단하는 법과 대각화의 중요성에 대해 이야기를 했었다. 이때 대각화가능성은 "연산자의 고유벡터로 이루어진 기저가 존재한다"는 명제를 통해 점검할 수 있었고, 대각화가능한 행렬에 대해 쉽게 행렬식

지금까지 수반연산자와 켤레복소수의 유사성을 다뤘다. 이제 내적공간에서 길이를 보존하는 선형연산자에 대해 다뤄보도록하자. 저의 유한차원 $F$-내적공간 $V$의 선형연산자 $T$를 생각하자. $F = C$일 때, 모든 $x \\in V$에 대하여 $||T(x)|| =||

직합이란 공간을 간단한 부분공간으로 분해하는 방법 혹은 부분공간을 하나의 공간으로 합치는 방법이다. 정의 벡터공간 $V$의 부분공간 $W_1, W_2, \\dots, W_k$에 대하여 다음 집합을 부분공간의 합이라 한다. $${v_1 + v_2 + \\dots + v_

수반연산자를 임의의 선형변환 $T : V \\to W$로 확장해서 생각해보자. 이때, 수반사상 $T^$는 $W$에서 $V$로의 선형변환이고, $\[T^]\\beta^\\gamma = (T^\\gamma\\beta)^$일 것이다. 재밌는 점은 $V$의 선형연산자 $T^T