1. 선형변환

선형 변환의 정의를 먼저 살펴보자.

$V$와 $T$는 모두 $F$ 벡터 공간이라 하자. 모든 $x, y \in F$에 대하여 다음을 모두 만족하는 함수 $T : V \to W$를 $V$에서 $W$로 가는 선형 변환이라고 한다.
1. $T(x + y) = T(x) + T(y)$
2. $T(cx) = cT(x)$

우리가 흔히 선형이라고 표현하는 것은 함수 $T$가 선형 변환일때를 의미하는 것이다.
이때 선형변환 $T : V \to W$는 다음의 성질들을 가지게 된다.

1. $T$가 선형이면 $T(0) = 0$이다.
2. $T$가 선형이기 위한 필요충분조건은 모든 $x, y \in V, c \in F$에 대하여 $T(cx + y) = cT(x) + T(y)$인 것이다.
3. $T$가 선형이면, 모든 $x, y \in V$에 대하여 $T(x - y) = T(x) - T(y)$이다.
4. $T$가 선형이기 위한 필요충분조건은 모든 $x_1, x_2, \dots, x_n \in V$와 $a_1, \dots, a_n \in F$에 대하여 다음 식을 만족하는 것이다.
   $\displaystyle T(\sum^n_{i = 1}a_i x_i) = \sum^n_{i = 1} a_iT(x_i)$

위의 조건들은 모두 선형변환에 대한 정의를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 어떤 함수가 선형인지 살펴 볼 때는 주로 2번 성질을 사용하게 된다.

2. 다양한 공간들

벡터 공간에는 다양한 부분공간들이 있는데 하나씩 살펴보도록 하자.

2-1. 영공간(Null Space)과 상공간(Range)

영공간의 정의는 다음과 같다.

벡터공간 $V, W$와 선형변환 $V: V \to W$에 대하여 $T(x) = 0$인 $x \in V$를 원소로 가지는 집합이고, $N(T)$로 나타낸다. 집합으로 나타내면 $N(T) = \{x \in V: T(x) =0\}$이다.

상공간의 정의는 다음과 같다.

벡터공간 $V, W$와 선형변환 $V: V \to W$에 대하여 $T$의 함숫값을 원소로 가지는 $W$의 부분집합이고, $R(T)$라 표기한다. 집합으로 나타내면 $R(T) = \{T(x) : x \in V\}$이다.

우리가 함수를 배울때, 치역이라 부르는 공간이 벡터공간에서 상공간이 된다.
선형변환의 영공간과 상공간이 벡터공간의 부분공간임을 밝히는 과정은 다음과 같다. $V, W$ 각각의 영벡터는 $0_V, 0_W$로 표기하자.
$x, y \in N(T)$일 때,

$x, y \in R(T), c \in F, T(v) = x, T(w) = y, x, y \in V$일 때,

정리 1. 즉, 벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T :V \to W$에 대하여 $N(T), R(T)$는 각각 $V, W$의 부분공간이다.

그런데 여기서 재밌는 점은 선형변환의 상공간을 생성하는 집합은 선형변환의 기저를 통해 만들 수 있다는 점이다.

벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T: V \to W$에서 $V$의 기저를 $\beta = \{ v_1, v_2, \dots, v_n\}$이라 할 때,

모든 i에 대해 $T(v_i) \in R(T)$이다.
그러므로 $span(T(\beta)) \subseteq R(T)$이다.

$w \in R(T)$라 할 때, $w = T(v)$인 $v \in V$는 당연히 존재한다. 이때, $\beta$가 $V$의 기저이므로, 다음과 같은 표현이 가능하다.

그런데 $T$는 선형이므로, $w = \sum^n_{i = 1}a_iT(v_i) \in span(T(\beta))$이다. 즉, 역으로 다음도 성립하게 되는 것이다.

결국 $R(T) \subseteq span(T(\beta) \subseteq R(T)$꼴이므로 다음이 성립한다.

정리 2. 벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T: V \to W$에서 $V$의 기저를 $\beta = \{ v_1, v_2, \dots, v_n\}$이라 할 때,
$R(T) = span(T(\beta)) = span(\{T(v_1), T(v_2), \dots, T(v_n)\})$

즉, range의 생성집합은 선형변환 전의 공간의 기저를 선형변환하여 생성할 수 있다.

2-2. 영공간과 상공간의 차원

영공간과 상공간의 차원은 다음과 같이 표기한다.

벡터공간 V, W의 선형변환 $T:V\to W$에 대하여 $N(T)$와 $R(T)$가 유한차원이라 가정하자.

• $N(T)$의 차원을 $nullity$라고 하고, $nullity(T)$라고 표기한다.
• $R(T)$의 차원을 랭크라하고, $rank(T)$로 표기한다.

여기서 잠깐 생각을 해보자. 영공간과 상공간은 어떻게 보면 서로 반대의 개념이다. 만약 $v \in V$에서 $T(v) = 0_w$인 $v$가 많다면, 상공간의 크기는 자연스레 작아질 것이다. 상공간의 많은 벡터가 영 벡터가 되어 버리기 때문이다. 이를 정리하면 다음과 같다.

정리 3. 차원 정리(Dimension Theorem)
벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T : V \in W$에 대하여 $V$가 유한차원이면, 다음이 성립한다.

증명은 다음과 같다.
$dim(V) = n, dim(N(T)) = k$라 하자. 이때 당연히 $k \leq n$이다. $N(T)$의 기저를 $\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$라고 하자. 이때 $N(T)$의 기저를 확장하여 $V$의 기저 $\beta = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$을 얻을 수 있다.

$S = \{T(v_{k+1}, v_{k+2}, \dots, T(v_n)\}$이 $R(T)$의 기저임을 보이자. 이때, $1 \leq i \leq k$에 대해 $T(v_i) = 0$임을 기억하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

이제 S로 R(T)를 생성할 수 있음을 알았다. S가 R(T)의 기저이기 위해서는 선형독립이어야 한다. 즉, $\sum^n_{i = k+1}b_iT(v_i) = 0$이면 된다. T가 선형변환임을 이용해 다음과 같은 동치식을 만들 수 있다.

이때 S가 N(T)에 속하지 않는 $v$로 구성한 집합이므로 적절한 $c_1, \dots, c_k \in F$가 존재하여 다음 식이 만족된다.

이때 $\beta$는 $V$의 기저라 했기 때문에 모든 i에 대해 $b_i = 0$일 수 밖에 없고 즉, S는 선형독립이 된다. 이와 더불어 $T(v_{k+1}), \dots, T(v_n)$이 서로 다른 벡터임을 이야기했으므로, rank(T) = n - k가 된다.

이때 한가지 공간에 대해 정의하고 넘어가자. 나중에 최적화와도 관련된 개념이다.

정의 $F$-벡터공간 $V, W$에 대하여 $V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을 $L(V, W)$라 표기한다. 또한, $V = W$면, 간단히 $L(V)$로 표기한다.

또한, $V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환을 원소로 하는 집합 $L(V, W)$가 벡터 공간의 공리를 만족한다.