1. 행렬표현

유한차원 벡터공간 $V$의 순서기저는 순서가 주어진 기저를 의미한다. 즉, 기저벡터들이 유한수열의 형태로 주어지는 것을 순서기저라고 한다. 이를 이용하면 이제 좌표벡터를 우리는 표현할 수 있다.

정의 1. 유한차원 벡터공간 $V$의 순서기저를 $\beta = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$이라 하고, $x \in V$에 대해 $a_1, a_2, \dots, a_n$은 $x = \sum^n_{i = 1}a_iu_u$를 만족하는 유일한 스칼라라고 할 때, $\beta$에 대한 $x$의 좌표벡터는 다음과 같다.

다르게 이야기하면, $x \in V$에 대해 $V$의 순서 기저 $\beta$의 선형 결합으로 $x$를 만들때, 선형 결합의 계수가 좌표벡터 $[x]_\beta$인 것이다.

이제 선형변환이 어떻게 행렬표현이 될 수 있는지 생각해보자. 유한차원 벡터공간 $V, W$와 각각의 순서기저 $\beta = \{v_1, v_2, \dots, v_n \}, \gamma =\{w_1, w_2, \dots w_m\}$, 선형변환 $T: V \to W$를 생각해보자. 이때, $j = 1, 2, \dots, n$일 때, j마다 다음을 만족하는 유일한 스칼라 $a_{ij} \in F$가 존재한다.

정의 2. 위의 상황에서 성분이 $A_{ij} = a_{ij}$인 $m \times n$ 행렬 A를 순서기저 $\beta$와 $\gamma$에 대한 선형변환 T의 행렬표현이라 하고, $A = [T]^\gamma_\beta$라 표기한다. 이때, $V = W, \beta = \gamma$이면, 간단하게, $A = [T]_\beta$라 표기하자.

즉, 행렬을 이용한 선형 변환이란 하나의 공간에 위치한 벡터를 다른 공간으로 선형 변환하여 나타내는 과정을 의미한다.
이때 영변환의 행렬표현은 영행렬이 되고, 항등변환의 행렬표현은 $n \times n$인 $I_n$ 항등행렬이 된다. 이제 행렬과 선형변환이 서로 연결되어 있음을 알 수 있다. 이때, 이 연결은 합과 스칼라곱을 보존한다.

정리 1. 즉, $F$-벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T,U:V \to W$에 대하여 다음이 성립한다.
1. 임의의 $a \in F$에 대하여 $aT + U$는 선형이다.
2. 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의할 때, $V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환의 집합은 $F$-벡터공간이다.

위의 두번째 성질에서 다음과 같은 정의가 도출된다.

정의 3. $F$벡터공간 $V,W$에 대하여 $V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을 $L(V, W)$라 표기한다. 이때, $V = W$라면 간단히 $L(V)$로 표기한다.

2. 선형변환의 합성과 행렬 곱

앞서 집합 $L(V, W)$가 벡터 공간의 공리를 만족하기 때문에, 선형변환의 합이 행렬의 합으로 표현될 수 있을 것이다. 그렇다면, 선형변환의 합성은 행렬로 표현하면 어떻게 될까? 행렬 곱으로 표현할 수 있다.

$F$-벡터공간 $V, W, Z$와 선형변환 $T:V \to W, U: W \to Z$를 생각하자. 두 선형변환의 합성 $UT:V \to Z$는 선형변환이다.

즉, 선형 변환의 합성은 다시 선형변환이라는 것인데, 다음을 통해 확인할 수 있다.

이제 선형변환의 합성이 선형변환임을 알았으니, 이를 어떻게 행렬곱이라 할 수 있는지 살펴보도록하자.

유한차원 벡터공간 $V, W, Z$와 선형변환 $T:V\to W, U: W\to Z$가 있다. $V$의 순서 기저 $\alpha = \{v_1, \dots, v_n\}$, $W$의 순서기저 $\beta = \{w_1, \dots, w_m\}$, $Z$의 순서기저 $\gamma = \{z_1, \dots, z_p\}$에 대하여, $A = [U]^\gamma_\beta, B = [T]^\beta_\alpha$라 하자. 이때, $AB = [UT]^\gamma_\alpha$가 되는 행렬곱을 정의해보자. 이때 $UT(v_j)$는 다음과 같이 자연스레 변환될 수 있을 것이다.

이때, $C_ij = \sum^m_{i = 1}A_{ik}B_{kj}$이므로, 행렬곱은 다음과 같이 정의가 가능해집니다.

정의 : $m \times n$ 행렬 $A$와 $n \times p$ 행렬 $B$에 대하여 두 행렬 $A, B$의 곱$AB$는 다음과 같이 정의된 $m \times p$ 행렬이다.
$1 \leq i \leq m, 1\leq j\leq p$에 대하여 $(AB)_ij = \sum^n_{k = 1}A_{ik}B_{kj}$

쉽게 표현하면 $(AB)_{ij}$는 $A$의 $i$행과 $B$의 $j$열을 내적한 것이다.

이때, 행렬 곱에 대해 결합법칙은 성립하나, 교환법칙은 성립하지 않으며, 행렬곱의 전치는 위치가 바뀐다. 즉, $(AB)^T = B^TA^T$이다.

행렬의 성징은 다음과 같다.
$A$ 가 $m \times n$ 행렬, $B$와 $C$가 $n \times p$ 행렬, $D$와 $E$가 $q \times m$ 행렬일때,

1. $A(B + C) = AB + AB, (D+E)A = (DA + EA)$
2. 임의의 스칼라 $a$에 대하여, $a(AB) = (aA)B = A(aB)$
3. $I_mA= A = AI_m$

행렬을 선형변환으로 볼 때, 일반적으로 행렬을 좌측에, 변환할 벡터를 오른쪽에 놓게 된다. 만약 행렬이 $U: V \to W$에서 $A = [U]_\alpha^\beta$라면, $Ax$이고, $x \in V$여야 행렬 $A$가 선형변환 $U$에 대응되기 때문이다. 이를 좌측 곱 변환이라 하며 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 :$A$는 $m \times n$행렬이고, 성분은 체 $F$의 원소이다. 다음 선형변환을 간단히 $L_A$라고 표기하자.
$L_A : F^m \to F^n, L_A(x) = Ax$
이때, $L_A$는 좌측 곱 변환(left multiplication transformation)이라 한다. 이때, $x$는 $F^n$의 열벡터이고, $Ax$는 $A$와 $x$의 행렬곱이다.