9. 행렬식의 성질

행렬식을 실제로 사용할 때 필요한 다양한 성질을 다뤄보도록 하자.

이전에 다룬 내용을 잠시 정리하자면 다음과 같다.

1. $det(I) = 1$
2. 상삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱과 같다.
3. 행렬에 기본행연산을 가하는 것은 기본행연산을 가한 상태의 항등행렬을 해당 행렬에 곱하는 것과 같다.
4. $I$의 두 행의 위치를 바꾸어 얻은 기본행렬 $E$의 행렬식은 $det(E) = -1$
5. $I$의 한 행에 0이 아닌 스칼라 $k$를 곱하여 얻은 기본행렬 $E$의 행렬식은 $det(E) = k$
6. $I$의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 기본행렬 $E$의 행렬식은 $det(E) = 1$

그런데 기본행렬 $A$와 어떤 행렬 $B$를 곱하는 것은 $B$에 기본행연산을 가하는 것과 같다. 이는 자연스레 다음 정리로 이어지게 된다.

정리 1. 임의의 $A, B \in M_{n \times n}(F)$에 대하여 $det(AB) = det(A) \cdot det(B)$이다.

증명
만약 $A$가 기본행렬일 경우 자명하게 성립되므로 따로 증명하지 않겠다. 하지만 $A, B$가 모두 기본행렬이 아닐 경우를 증명해보자.

만약 $rank(A) = n$이면 $A$는 가역행렬이고, 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다. 즉, $A = E_m \dots E_1$이다.

여기서 따름정리가 하나 나오게 되는데, 다음과 같다.

따름정리 1. 행렬 $A \in M_{n \times n}(F)$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $det(A) \neq 0$이다. 또한, $A$가 가역이라면 $det(A^{-1}) = {1 \over det(A)}$이다.

증명
첫문장은 이전에 증명을 했기 때문에 새로울 것이 없지만, 역행렬의 행렬식을 손쉽게 구할 수 있다는 점은 증명할 필요가 있다. 이는 다음과 같이 쉽게 증명이 가능하다.

역행렬에 대한 행렬식의 성질을 알았다면 자연스레 전치행렬이 관심이 옮겨가게 된다. 전치행렬에 대해서는 다음과 같은 관계가 성립한다.

정리 2. 임의의 $A \in M_{n \times n}(F)$에 대하여 $det(A^t) = det(A)$이다.

증명
이는 $A$가 가역행렬일 때와 아닐 때로 구분하여 증명해보일 수 있다.

(1) $A$가 가역행렬이 아니라면, $rank(A) < n$이다. $rank(A) = rank(A^t)$이므로, $A^t$ 역시 가역행렬이 아니다. 즉, $det(A) = 0 = det(A^t)$이 된다.

(2) $A$가 가역행렬이면, $A = E_m \dots E_2E1$으로 표현이 가능하다. 이때, $det(E_i) = det(E_i^t)$이므로 다음과 같은 전개가 가능하다.

즉, 어떤 가역행렬 $A$에 대하여 $det(A) = det(A^t)$이다. 이는 기본행연산에 대한 행렬식의 성질이 기본열연산에도 동일하게 적용가능하다는 것을 의미하게 된다.