인공지능을 위한 선형대수 | 01. Elements in linear algebra

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본 게시물의 내용은 주재걸 교수님의 '인공지능을 위한 선형대수' 를 참고하여 작성하였습니다.
출처 및 강의 자료는 게시글 하단에 기재된 링크를 통해 확인하세요.

1. 스칼라, 벡터, 행렬

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• 스칼라(Scalar): 하나의 숫자 (크기 O, 방향 X)

• 벡터(Vector): 순서가 있는 숫자 배열 (크기 O, 방향 O)

  • 반대 개념으로 순서가 없는 배열인 set 이 있음
  • 행벡터(Row vector)와 열벡터(column vector)가 있음
  • 열벡터가 기본 벡터

• 행렬(Matrix): 2차원의 숫자 배열

  • 행과 열 구분에 주의할 것 ! → 행(좌→우), 열(상→하)

2. 열벡터와 행벡터

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• 열벡터

  • n 차원 열벡터 → n개의 행
  • 표기 방법: $R^{n×1}$

• 행벡터

  • n 차원 행벡터 → n개의 열
  • n차원 행벡터는 n차원 열벡터를 전치(transpose)시킨 것 (위 그림 참고)
  • 표기 방법: $R^{1×n}$

3. 행렬의 종류(표기)

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• 정사각 행렬(Square matrix)

  • 행의 수 = 열의 수
  • 표기: $R^{n×n}$

• 직사각 행렬(Rectangular matrix)

  • 행의 수 ≠ 열의 수
  • 표기: $R^{m×n}$

• 전치 행렬 (Transpose of matrix, 기존 행렬을 전치한 것)

  • 대각선을 기준으로 행렬을 180도 회전한 것
  • 표기: $A^T$

• 행렬 표기법에 따른 의미

  • $A_{i, j}$ → 행렬 A의 i번째 행의 j열에 위치한 요소
  • $A_{i, :}$ → 행렬 A의 i번째 행의 모든 요소
  • $A_{:, i}$ → 행렬 A의 i 번째 열의 모든 요소

4. 행렬과 벡터의 연산

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• 행렬의 덧셈

  • 각 행렬의 같은 위치의 요소끼리 합함

  • 행렬 덧셈의 조건: 각 행렬이 같은 크기여야 함 → 예시: (2x2)(2x2)

• 스칼라 x 행렬: 행렬의 각 요소에 스칼라 값을 곱함

• 행렬의 곱셈

  • 행렬의 곱셈이 성립하기 위해서는 앞 행렬의 열의 수와 뒤 행렬의 행의 수가 동일해야 함 → 예 (3x2)(2x2)

  • 곱셈은 앞 행렬의 행의 요소들과 뒤 행렬의 열의 요소들의 곱을 합한 값 (그림 참고)

• 벡터의 곱셈

  • 행렬의 곱셈과 유사

  • 내적: 결과 값이 상수

  • 외적: 결과 값이 벡터

5. 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않는다.

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• 행렬의 곱셈에서는 교환 법칙이 성립하지 않는다.

  • AB 와 BA는 다르다.

  • 자세한 내용은 위 슬라이드 참고

6. 행렬 곱셈의 다른 속성들

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• 행렬의 곱셈에서 분배법칙, 결합법칙 모두 성립 (교환 법칙만 성립하지 않는다)

• 행렬을 곱한 상태에서 전치시키면 순서가 변화된다.

  • 슬라이드를 참고하자

  • 참고: 행렬 곱의 역행렬을 구할 때도 순서가 반대로 바뀐다.

출처

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인공지능을 위한 선형대수