📌 선형독립
여러 개의 벡터가 선형 독립이라는 것은, 한 벡터가 나머지 벡터들의 선형 조합으로 나타내지지 않는다는 의미입니다. 즉, 어떤 벡터가 나머지 벡터들을 스칼라 계수로 조합하여 만들 수 없다면, 이 벡터들은 선형 독립입니다. 수식적으로는 다음과 같이 표현됩니다.
벡터들 v₁, v₂, ..., vₙ이 선형 독립이라면, 실수 스칼라들 c₁, c₂, ..., cₙ이 모두 0일 때 다음 식이 성립합니다.
c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0
예시 1️⃣
두 개의 벡터 {v₁, v₂} = {(1, 0), (0, 1)}이 있습니다. 이 벡터들은 2차원 평면에서 각각 x축과 y축의 방향을 나타냅니다. 이 두 벡터는 서로 독립적으로 움직일 수 있기 때문에 선형 독립입니다. 어떤 하나의 벡터도 다른 벡터의 스칼라 배치로 나타낼 수 없습니다.
예시 2️⃣
세 개의 벡터 {v₁, v₂, v₃} = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)}을 생각해봅시다. 이 벡터들은 각기 다른 방향을 나타내며, 어떤 하나의 벡터도 나머지 벡터들의 선형 조합으로 나타낼 수 없습니다. 따라서 이 벡터들은 선형 독립입니다.
📌 선형종속
반면에 선형 종속한 벡터들은, 적어도 하나의 벡터가 나머지 벡터들의 선형 조합으로 나타내지는 것을 의미합니다. 즉, 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 조합으로 만들어질 수 있다면, 이 벡터들은 선형 종속입니다.
만약 벡터들 v₁, v₂, ..., vₙ이 선형 종속이라면, 적어도 하나의 스칼라 cᵢ (i는 1부터 n까지의 인덱스)가 0이 아니고, 다른 스칼라들 cⱼ (j는 1부터 n까지의 인덱스이며 j ≠ i인 경우)가 0이 아닌 값인 경우 다음과 같은 수식이 성립합니다:
c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0
여기서 cᵢ는 0이 아니며 다른 cⱼ는 0일 때, 이것이 선형 종속의 정의입니다. 이것은 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 조합으로 나타내질 수 있다는 것을 의미합니다.
예시 1️⃣
개의 벡터 {v₁, v₂, v₃} = {(1, 0, 0), (2, 0, 0), (3, 0, 0)}을 생각해봅시다. 이 벡터들은 모두 x축의 방향을 나타내며, 어떤 하나의 벡터로 나머지 두 벡터의 선형 조합으로 나타낼 수 있습니다. (1,0,0)에서 스칼라 2를 곱하면 (2,0,0), 3을 곱하면 (3,0,0)이 됩니다. 따라서 이 벡터들은 선형 종속입니다.
예시 2️⃣
세 개의 벡터 {v₁, v₂, v₃} = {(1, 2), (3, 4), (1, 2)}을 생각해봅시다. 마지막 벡터는 첫 번째 벡터와 똑같은 값으로 중복되며, 따라서 이 벡터들은 서로 선형 종속입니다. 중복된 벡터가 존재하면, 적어도 하나의 벡터가 나머지 벡터들의 선형 조합으로 나타낼 수 있음을 의미합니다.
📝 선형종속, 선형독립 구분 문제
{v₁, v₂, v₃} = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} 벡터가 선형 독립인지 선형 종속인지를 판단하시오.
세 벡터를 스칼라 계수로 조합하여 0 벡터를 만드는 방정식을 쓰면 다음과 같습니다.
c₁(1, 2) + c₂(3, 4) + c₃(5, 6) = (0, 0)
이 방정식을 풀어서 연립방정식을 만들면 다음과 같습니다.
시스템:
c₁ + 3c₂ + 5c₃ = 0
2c₁ + 4c₂ + 6c₃ = 0
이 시스템의 해는 c₁ = 0, c₂ = 0, c₃ = 0입니다. 모든 계수가 0이므로, 이 벡터들은 선형 독립입니다. 다시 말해, 어떤 한 벡터도 나머지 두 벡터들의 선형 조합으로 표현되지 않습니다.
