[선형대수학] 벡터 공간 및 부분 공간

📌 벡터공간(vector space)이란?

공간 정의

• 집합에 있는 두 원소를 더했을때 해당 집합에 속한다.
• 한 원소를 상수배 했을때 해당 집합에 속한다.
  위의 두가지 조건을 만족한다면 해당 집합을 "공간(Space)"이라고 부를 수 있습니다.

벡터공간 정의

위 조건을 만족하는 공간이 아래의 조건(공리)를 만족한다면 "벡터공간 (Vector Space)"라고 할 수 있습니다.

• 덧셈에 대한 교환법칙: $u+v = v+u$
• 덧셈에 대한 결합법칙: $(u+v)+w = u+(v+w)$
• 항등원의 존재: $u+0 =u$
• 역원의 존재: $u+(-u)=0$
• 벡터의 분배법칙: $a(u+v) = au+av$
• 스칼라의 분배법칙: $(a+b)u = au+bu$
• 스칼라의 결합법칙: $(ab)u = a(bu)$
• 항등법칙: $1u=u$

벡터 공간인지 아닌지를 알기 위해서는 공간의 조건 2개와와 벡터 공간의 조건 8개, 무려 총 10개의 조건을 만족해야 합니다. 10개의 조건을 모두 검토하기 보다는 딱 3가지 조건을 충족하는 것을 확인해도 그것이 벡터공간인지를 알 수 있습니다.

• 항등원의 존재: $u+0 =u$
• 집합에 있는 두 원소를 더했을때 해당 집합에 속한다.
• 한 원소를 상수배 했을때 해당 집합에 속한다.

  집합 ${(v_1,v_2,v_3)\in R^3}$가 다음 조건을 만족할 떄 벡터의 공간이 아닌것은?
  (1) $v_1+v_2 = 0$
  (2) $v_1+v_2+v_3 = 1$
  (3) $2v_2 = v_3, v_1+ v_3 = 0$
  (4) $v_1 = 2v_2 = 3v_3$

앞서 말씀드린바와 같이 3가지 조건을 만족하지 않는 보기를 골라내면 됩니다.
우선 제로 벡터가 존재하는지를 확인하면 됩니다. (0,0,0)을 보기에 적용하여 맞지 않는 것을 골라내게 됩니다.
그중 2번 보기에 0,0,0을 적용한다면 1이 되지 않는것을 확인할 수 있습니다. 따라서 2번 보기가 정답이 되게 됩니다.
(참고로, 제로 벡터가 모든 보기에 속하게 된다면 1)집합에 있는 두 원소를 더했을때 해당 집합에 속한다. 2)한 원소를 상수배 했을때 해당 집합에 속한다.의 조건을 확인해야 합니다)

📌 부분공간(subspace)이란?

크림빵이 있다고 생각해봅시다! 크림빵에서 조금의 빵을 뜯어냈을때 크림이 없다면 단순 빵이 되겠죠. 하지만 크림이 발린 빵을 뜯어낸다면 크림빵이라고 할 수 있습니다. 간단히 말해 빵의 부분을 뜯었을때 크림이라는 조건이 만족되어야만 크림빵의 한부분이라고 할 수 있습니다.

이처럼 부분공간 또한 마찬가지 입니다. 벡터 공간에서의 일부분을 떼어냈을 때 벡터 공간의 조건을 만족해야만 "부분공간"이라고 칭할 수 있습니다. 즉, 부분공간도 벡터공간의 10개의 조건을 만족해야 합니다!