📌 기저란?
기저(Basis)는 벡터 공간(Vector Space) 내의 벡터들로 이루어진 집합으로, 이 벡터들이 선형 독립이면서 그 벡터 공간 내의 모든 벡터를 생성할 수 있는 최소한의 벡터들을 말합니다. 다시 말해, 기저는 벡터 공간 내의 모든 벡터를 어떤 조합으로도 나타낼 수 있는 "기초"라고 할 수 있습니다.
더 쉬운 이해를 예시를 들어보도록 하겠습니다.
컬러 프린터 내 잉크는 노랑, 파랑, 검정, 빨강 4가지의 잉크로 이루어져 있습니다. 컬러 프린터는 4개의 색 조합을 이용하여 여러가지 색을 조합하여 인쇄물을 생성해냅니다. 여기서 노랑, 파랑, 검정, 빨강은 색의 "기저"라고 할 수 있습니다.
다음 중 의 기저가 되는 것은?
(1) (1 0 0) (2 2 0) (3 3 3)
(2) (3 1 -5) (1 4 2) (-2 3 7)
(3) (1 6 4) (2 4 -1) (-1 2 5)
이 문제는 선형독립인 보기를 찾는 문제입니다. 선형독립인지 선형종속인지를 찾는 방법에 대해서는 자세하게는 설명하지 않겠지만, 행렬식을 통해 푼다면 (1)을 제외한 다른 보기는 종속이 됩니다. 따라서 (1)보기가 정답이 됩니다.
📌 차원이란?
벡터 공간의 차원은 해당 공간 내의 벡터들이 얼마나 많은 독립적인 방향으로 확장될 수 있는지를 나타내는 값입니다. 이것은 벡터 공간을 형성하는 데 필요한기저 벡터의 개수를 의미합니다.
예를 들어, 2차원 평면은 두 개의 서로 독립적인 벡터로 생성됩니다. 따라서 이 평면의 차원은 2입니다. 3차원 공간은 세 개의 서로 독립적인 벡터로 생성되므로 차원은 3입니다. 차원은 일반적으로 정수로 표현됩니다.
