단위 벡터(unit vector)와 기저(basis)

î = i-hat(x축의 단위 벡터)
ĵ = j-hat(y축의 단위 벡터)

벡터의 x좌표값을, i-hat을 늘리고 줄인다고 생각
벡터의 y좌표값을, j-hat을 늘리고 줄인다고 생각

스케일링 된 두 벡터의 합으로 볼 수 있음.

이 때, i-hat, j-hat은 스칼라가 스케일링 하는 대상이 됨.

다른 벡터를 가지고도 스칼라와 기저벡터로 표현할 수 있음

New 기저 벡터 표현(임의의 벡터를 기준으로 하는) 는 좀 더 표준적인 i-hat, j-hat 단위(영점을 기준으로 하는)를 사용했을때와 다름.

선형 결합(Linear Combination)

Just Let you know,
" 수치로 벡터를 표현할 경우, 이는 특정 기저 벡터를 선택한 상태를 의미함."

두 벡터를 스케일링하고 더하는 것 = Linear combination

span

" 주어진 두 벡터 쌍의 조합으로 나타날 수 있는 결과 벡터의 집합 "

-> line

-> entire 2d space

-> flat sheet
3번째 vector를 스케일링하면..?
전부 스케일링하면 모든 평면에 닿을수 있을까?

Linearly dependent
: 다른 벡터를 제외해도 span의 차원이 변하지 않는 경우.
예를 들어, 2개의 벡터가 있어도 2차원으로 확장되지 않고 선 하나로만 표현되는 경우

Linearly indepenent
: 다른 벡터를 추가했을 때, span의 차원이 변하는 경우.
예를 들어, 2개의 벡터가 있을때, 1개의 벡터를 더 추가하면 3차원으로 확장되는 경우

Quiz

Why is this definition make sense?

벡터 공간의 기저는 공간을 전부 채우는 선형 독립적인 벡터들의 집합이다.

기저는 '스칼라를 스케일링하여, 모든 벡터에 적용될 수 있음. scalar의 값은 unique하기 때문에 결국 기저를 이루는 벡터의 선형결합 결과는 unique함' 이고,
선형독립적인 벡터는 '다른 벡터를 추가했을때 span의 차원이 변하는 벡터임, 선형종속적인 벡터는 제외됨'이다.
기저를 구성할때 선형결합으로 구성되는데, 이 때 스칼라 값이 unique함으로 한 벡터와 선형종속 관계에 있는 벡터는 포함될 수 없음.
따라서 위의 정의가 성립된다.