문제

여행을 떠난 세준이는 지도를 하나 구하였다. 이 지도는 아래 그림과 같이 직사각형 모양이며 여러 칸으로 나뉘어져 있다. 한 칸은 한 지점을 나타내는데 각 칸에는 그 지점의 높이가 쓰여 있으며, 각 지점 사이의 이동은 지도에서 상하좌우 이웃한 곳끼리만 가능하다.

현재 제일 왼쪽 위 칸이 나타내는 지점에 있는 세준이는 제일 오른쪽 아래 칸이 나타내는 지점으로 가려고 한다. 그런데 가능한 힘을 적게 들이고 싶어 항상 높이가 더 낮은 지점으로만 이동하여 목표 지점까지 가고자 한다. 위와 같은 지도에서는 다음과 같은 세 가지 경로가 가능하다.

지도가 주어질 때 이와 같이 제일 왼쪽 위 지점에서 출발하여 제일 오른쪽 아래 지점까지 항상 내리막길로만 이동하는 경로의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에는 지도의 세로의 크기 M과 가로의 크기 N이 빈칸을 사이에 두고 주어진다. 이어 다음 M개 줄에 걸쳐 한 줄에 N개씩 위에서부터 차례로 각 지점의 높이가 빈 칸을 사이에 두고 주어진다. M과 N은 각각 500이하의 자연수이고, 각 지점의 높이는 10000이하의 자연수이다.

출력

첫째 줄에 이동 가능한 경로의 수 H를 출력한다. 모든 입력에 대하여 H는 10억 이하의 음이 아닌 정수이다.

예제 입력 1

4 5
50 45 37 32 30
35 50 40 20 25
30 30 25 17 28
27 24 22 15 10

예제 출력 1

3

첫번째 시도

100x100까지는 단순한 DFS로 풀어도 빠르지만, 이 문제는 최대 map의 크기가 500x500이다. 그래서 단순히 완전 탐색(DFS)만 이용하면 시간초과가 발생하므로, 방문한 곳은 또 방문할 필요가 있을지 생각해봐야 한다.
따라서, 시작점에서 끝점까지 DFS를 이용하여 탐색은 하되, 이미 탐색해서 경로의 개수가 파악된 지점을 또 탐색할 때에는 저장된 경로의 개수를 반환하면 된다.

다음 코드는 DFS만 이용해서 틀린 코드이다.

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
    static int M, N, answer;
    static int[][] map;
    static boolean[][] visited;
    static int[] dx = { -1, 0, 1,  0 };
    static int[] dy = {  0, 1, 0, -1 };

    public void DFS(int x, int y) {
        if (x == M - 1 && y == N - 1) {
            answer++;
        }

        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int nextX = x + dx[i];
            int nextY = y + dy[i];

            if (nextX < 0 || nextX > M - 1 || nextY < 0 || nextY > N - 1) continue;
            if (!visited[nextX][nextY] && map[x][y] > map[nextX][nextY]) {
                visited[nextX][nextY] = true;
                DFS(nextX, nextY);
                visited[nextX][nextY] = false;
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        Main main = new Main();
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

        M = Integer.parseInt(st.nextToken());
        N = Integer.parseInt(st.nextToken());

        map = new int[M][N];
        visited = new boolean[M][N];

        for (int i = 0; i < M; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                map[i][j] = Integer.parseInt(st.nextToken());
            }
        }

        visited[0][0] = true;
        main.DFS(0, 0);
        System.out.println(answer);
    }
}

정답 풀이

한 번 끝점까지 탐색이 완료된 점은 dp를 사용하여 경로의 개수를 저장해 놓고, 다른 점에서 또 탐색이 되었을 때는 이 경로를 더해주는 방향으로 로직을 설계하시면 되겠습니다.

기존에 사용했던 DFS와 DP를 접목시켜서 풀어나가야 한다.
인접한 4개의 방향을 탐색하면서 재귀 형태로 최종 목적지까지 계속 뚫어가며 중간중간에 추가 경로가 생기면 방법을 +1씩 누적시키면 된다.
이렇게 하면 동시에 메모이제이션도 가능해지기 때문에 시간 복잡도를 많이 줄일 수 있다.

1. 방문 여부를 확인하기 위해 dp 배열은 -1으로 초기화하여 모두 방문하지 않은 곳으로 초기 설정한다.
2. 처음 방문할 경우 -1 -> 0으로 변경시키고 배열 범위를 넘지 않고, 자신의 값이 더 큰 경우에 재귀를 실행하도록 한다.
3. 방문한 경우 0으로 값을 변경해주었기 때문에 재귀를 할 때 dp 원소값이 -1이 아닌 경우 메서드를 종료시켜서 시간을 단축시킨다.
4. 목적지에 도달했을 때 경우의 수를 1씩 계속 누적하여 처음 시작한 좌표의 경우의 수를 구한다.

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
    static int M, N, answer;
    static int[][] map, dp; // dp 배열에 "x, y에서 M - 1, N - 1까지 이동하는 경로의 수" 를 저장
    static int[] dx = { -1, 0, 1,  0 };
    static int[] dy = {  0, 1, 0, -1 };

    public int DFS(int x, int y) {
        if (x == M - 1 && y == N - 1) { // 도착 지점까지 도달했을 경우
            return 1;
        }
        if (dp[x][y] != -1) return dp[x][y]; // 방문했다면 저장된 값을 리턴 => 시간을 단축

        // 방문 안 했다면
        dp[x][y] = 0; // 먼저 0으로 세팅
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int nextX = x + dx[i];
            int nextY = y + dy[i];

            if (nextX < 0 || nextX > M - 1 || nextY < 0 || nextY > N - 1) continue;
            // map[nextX][nextY]에서 끝점까지 도달하는 경로의 개수를 더한다
            if (map[x][y] > map[nextX][nextY]) {
                dp[x][y] += DFS(nextX, nextY);
            }
        }

        return dp[x][y];
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        Main main = new Main();
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

        M = Integer.parseInt(st.nextToken());
        N = Integer.parseInt(st.nextToken());

        map = new int[M][N];
        dp = new int[M][N];

        for (int i = 0; i < M; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                map[i][j] = Integer.parseInt(st.nextToken());
                dp[i][j] = -1; // -1은 아직 방문 전, 방문한 곳은 0 이상으로 표시
            }
        }

        answer = main.DFS(0, 0);
        System.out.println(answer);
    }
}

후기

항상 입력값의 범위를 확인하여 시간초과 가능성을 확인해보자!