프로그래머를 위한 선형대수(End)

4장) 고유값, 대각화, 요르단 표준형(폭주의 위험이 있는지)

• 4.5) 고유값, 고유벡터

  앞에서 설명한 바와 같이 폭주 위험을 판정하기 위한 열쇠는 고윳값과 고유벡터이다.

  일반적으로 정방행렬 A에 대해 다음을 만족하는 수 $\lambda$와 벡터 $p$를 '고유값', '고유벡터'라고 한다.

  • $Ap = \lambda p$
  • $p \neq 0$

• 4.5.1) 기하학적인 의미

  고유벡터의 기하학적인 의미는 'A를 곱해도 신축만 되고, 방향은 변하지 않는다.'이며
  이 때 신축률(몇 배가 되는가)이 고윳값입니다.

• 4.5.2) 고윳값, 고유벡터의 성질

  한눈에 들어오는 성질

  • A가 고윳값 0을 지니는 것과 A가 특이인 것은 동치다. 즉, A가 고윳값 0을 지니지 않는 것과 A가 정칙인 것은 동치다.
  • $1.7p$나 $-0.9p$도 A의 고유벡터다. 일반적으로 $\alpha \neq 0$에 대해 $\alpha p$는 A의 고유벡터이다.
  • 같은 고윳값 $\lambda$의 고유벡터 $q$를 가져오면 $p+q$도 A의 고유벡터(고윳값 $\lambda$)다. 단, $p+q = 0$인 경우는 제외한다.
  • $p$는 $1.7A$나 $-0.9A$의 고유벡터이기도 하다.(고윳값은 각각 $1.7\lambda$, $-0.9\lambda$). 일반적으로 $p$는 $\alpha A$의 고유벡터이기도 하다.(고윳값은 $\alpha \lambda$)
  • $p$는 $A + 1.7I$나 $A - 0.9I$의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 각각 $λ + 1.7, λ - 0.9$). 일반적으로$p$는 $A + αI$의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 $λ + α$).
  • $p$는 $A^2$이나 $A^3$의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 각각 $λ^2, λ^3$). 일반적으로 k = 1, 2, 3,...에 대해 $p$는 $A^k$의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 $λ^k$)
  • $p$는 $A^{-1}$의 고유벡터이기도 하다.($A^{-1}$이 존재할 때). 고윳값은 $1/\lambda$.
  • 대각행렬 $diag(5,3,8)$의 고윳값은 5, 3, 8이다. $(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T$가 대응하는 고유벡터이다. 일반적으로 대각행렬 $diag(a_1,...,a_n)$의 고유값은 $a_1,...,a_n, e_1,...,e_n$이 대응하는 고유벡터($e_i$는 i성분만이 1이고, 나머지는 0인 n차원 벡터)다.
  • 블록대각행렬의 고윳값, 고유벡터는 대각블록별로 생각하면 된다.
  • 상삼각행렬이나 하삼각행렬의 고윳값은 대각성분 그 자체다
  • A와 같은 크기의 정칙행렬 S에 대해 $S^{-1}p$는 $S^{-1}AS$의 고유벡터(고윳값 $\lambda$)이다. 따라서 A와 $S^{-1}AS$는 같은 고윳값을 지닌다. '닮음변환으로 고윳값은 변하지 않는다.'
  • 행렬식은 고윳값의 곱이다. 즉 n x n 행렬 A의 고윳값이 $\lambda_1,...,\lambda_n$인 경우 det A = $\lambda_1,...,\lambda_n$
  • 대각화를 할 수 있는 경우 $det(P^{-1}AP) = det(P^{-1})\ det A\ detP \to$ $1\over detP$$detA\ detP = detA$
  • $det(P^{-1}AP)=det A = \lambda_1,...,\lambda_n$

고유벡터의 선형독립성

다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 선형독립이다.

• $\lambda_1,...,\lambda_n$가 n x n 행렬 A의 고윳값이고, $p_1,...,p_k$가 대응하는 고유벡터라고 한다. 만약 $\lambda_1,...,\lambda_n$가 모두 다르면 $p_1,...,p_k$는 선형독립이다.

• n x n행렬 A가 n개의 서로 다른 고윳값 $\lambda_1,...,\lambda_n$을 지니면 대응하는 고유벡터 $p_1,...,p_n$을 나열한 행렬 P = $(p_1,...,p_n)$은 정칙이고, $P^{-1}AP = diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$으로 대각화할 수 있다.

• 4.5.3) 고윳값의 계산 : 특성방정식

벡터 $p$가 n x n 행렬 A의 교유벡터다.(고유값은 $\lambda$)의 의미는 다음과 같다.

$(\lambda I - A)p = o$

$o$이 아닌 벡터 $p$에 행렬 $(\lambda I - A)$를 곱하면 $o$이 되어 버린,
즉 행렬 $(\lambda I - A)$가 '납작하게 누르는' 특이행렬이 된 것입니다. 그런 특이행렬의 행렬식은 0이 됩니다.
반대로 $det(\lambda I - A) = 0$이면 $(\lambda I - A)$는 특이행렬이고,
그런 경우 $o$이 아닌데 $(\lambda I - A)$를 곱하면 $o$이 되어버리는 벡터가 존재한다.
이러한 이유로 $\lambda$가 $A$의 고윳값인 것과

$ϕ_A(λ) ≡ det(λI - A)$

가 0이 되는 것은 동치입니다.
$ϕ_A(\lambda)$를 특성다항식(고유다항식)이라 부르고,
$\lambda$의 방정식 $ϕ_A(λ) = 0$을 특성방정식(고유방정식)이라고 합니다.
실제로 $ϕ_A(\lambda)$는 변수 $\lambda$의 n차 다항식이 되는 것이 행렬식의 계산법의 식에서 보증됩니다.
$ϕ_A(λ) = 0$의 해는 $\lambda$ = 5,3,8

해당 A의 고윳값은 1,2이다.

다음과 같이 실행렬 A에서 고윳값,고유벡터가 복소수인 경우가 있다.

• 4.5.4) 고유벡터의 계산

  행렬 A의 고윳값 $\lambda$이 구해지면 남은 것은 고유벡터 $p$를 찾는 것입니다.
  앞서 본 행렬 A = $\begin{pmatrix}3&-2\\1&0\\ \end{pmatrix}$의 고윳값은 $\lambda = 1,2$입니다. 고유벡터 $p = (p_1,p_2)^T$로 두고 $Ap = \lambda p$를 만족시키는 $p_1,p_2$를 찾아봅시다.

  • $\lambda = 1$인 경우

    • $\begin{pmatrix}3&-2\\1&0\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}p1\\p2\\ \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}p1\\p2\\ \end{pmatrix}$
    • $3p_1 - 2p_2 = p_1$
    • $p_1 = p_2$
    • 고유벡터 $p$ = $\alpha$ $\begin{pmatrix}1\\1\\ \end{pmatrix}$

  • $\lambda = 2$인 경우

    • $\begin{pmatrix}3&-2\\1&0\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}p1\\p2\\ \end{pmatrix}$ $=2$ $\begin{pmatrix}p1\\p2\\ \end{pmatrix}$
    • $3p_1 - 2p_2 = 2p_1$
    • $p_1 = 2p_2$
    • 고유벡터 $p$ = $\alpha$ $\begin{pmatrix}2\\1\\ \end{pmatrix}$

  • 중복고윳값(성질이 좋은 경우)
    상삼각행렬의 고윳값은 대각성분 그 자체이다.
    그러므로 A의 고윳값은 3(이중해)와 2이다.

    • $A =$$\begin{pmatrix}3&-1&1\\0&2&1\\0&0&3 \end{pmatrix}$
    • 고윳값 2에 대응하는 고유벡터 $p$
      • $3p_1 - p_2 + p_3 = 2p_1$
      • $2p_2 + p_3 = 2p_2$
      • $3p_3 = 2p_3$
      • $p=$ $\alpha$ $\begin{pmatrix}1\\1\\0\\ \end{pmatrix}$

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