[유한체] 01-5. 유한체

유한체 🔢

유한체, finite field란 무엇일까?

말 그대로 크기가 유한(finite)한 체(field)이다.

농담이 아니라 진짜다.

여기서 체, field라는 것은 사칙연산(덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈)이 집합 안에서 자유롭게 시행될 수 있으면서 몇 가지 조건을 만족하는 집합이다.

유한하다는 것은 일단 제쳐두고 어떤 집합 $F$가 체가 되기 위한 조건들을 덧셈에 대한 조건과 곱셈에 대한 조건으로 나누어서 살펴보자!

새로워 보일 수 있지만, 일부를 제외하면 그저 앞서 배운 것들을 한데 모아놓은 것이다.

참고로 여기서는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 알고 있다고 가정하고 설명한다.

이에 대해 모르거나 헷갈린다면 부록(교환, 결합, 분배)을 참고하길 바란다.

체, 덧셈에 대한 조건 6가지 ➕

① 집합 $F$에 덧셈이 정의되어 있다.

집합 내의 원소들에 대해 $+$연산(덧셈)이 가능해야 한다.

② 덧셈에 대해 닫혀 있다.

집합 내의 모든 덧셈의 결과가 다시 집합에 속해야 한다.

③ 덧셈에 대한 항등원($e$)이 존재한다.

집합 내의 임의의 원소 $a$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$a+e=e+a=a$

여기서 항등원 $e$는 0이다.

④ 모든 원소에 대해 덧셈에 대한 역원($x$)이 존재한다.

집합 내의 임의의 원소 $a$와 덧셈에 대한 항등원 $e$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$a+x=x+a=e$

여기서 역원 $x$는 $-a$이다.

⑤ 모든 원소에 대해 덧셈의 교환법칙이 성립힌다.

집합 내의 임의의 두 원소 $a, b$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$a+b=b+a$

⑥ 모든 원소에 대해 덧셈의 결합법칙이 성립한다.

집합 내의 임의의 원소들 $a, b, c$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$a+(b+c)=(a+b)+c$

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집합이 체가 되기 위한 조건 중 덧셈에 관련된 것들을 알아보았다.

교환법칙과 결합법칙을 제외하면 이미 배운 것들이다!

다음은 곱셈에 관련된 조건을 알아보자.

이해를 돕기 위해 따로 적었지만, 덧셈과 거의 똑같다.

체, 곱셈에 대한 조건 6가지 ❎

① 집합 $F$에 곱셈이 정의되어 있다.

집합 내의 원소들에 대해 $*$연산(곱셈)이 가능해야 한다.

② 곱셈에 대해 닫혀 있다.

집합 내의 모든 곱셈의 결과가 다시 집합에 속해야 한다.

③ 곱셈에 대한 항등원($e$)이 존재한다.

집합 내의 임의의 원소 $a$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$a*e=e*a=a$

여기서 항등원 $e$는 $1$이다.

④ $0$ 이외의 모든 원소에 대해 곱셈에 대한 역원($x$)이 존재한다.

집합 내의 임의의 원소 $a$와 곱셈에 대한 항등원 $e$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$a*x=x*a=e$

여기서 역원 $x$는 $\cfrac{1}{a}$이다.

⑤ $0$ 이외의 모든 원소에 대해 교환법칙이 성립한다.

집합 내의 임의의 두 원소 $a, b$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$a*b=b*a$

⑥ $0$ 이외의 모든 원소에 대해 결합법칙이 성립한다.

집합 내의 임의의 원소들 $a, b, c$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$a*(b*c)=(a*b)*c$

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집합이 체이기 위한 조건 중 곱셈에 대한 것들을 알아보았다.

이 조건들 역시 앞서 배운 것들을 나열한 것이다.

마지막으로 덧셈과 곱셈이 함께 사용되는 특별한 조건에 대해 알아보자.

체, 마지막 조건 ❗

① 덧셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립해야 한다.

집합 내의 임의의 원소 $a, b, c$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$a*(b+c)=a*b+a*c$

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체, 정리 💬

집합이 체가 되기 위한 조건들을 알아보았다.

총 13가지나 되어서 많아 보이지만 이를 간단히 정리하면 다음과 같다.

덧셈과 곱셈이 가능하며,
덧셈과 곱셈에 닫혀 있으며,
덧셈과 곱셈의 항등원과 역원이 있으며,
덧셈과 곱셈에 대해 교환법칙과 결합법칙이 성립하며,
덧셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립하는 집합을 체라고 한다.

나름 간단히 정리한다고 해봤는데도 길다.

이 조건들을 달달 외우기보다는 '체라는 게 이런 거구나' 정도로 생각하고 보면 좋을 것 같다.

체가 무엇인지 기억이 안 나면 언제든 다시 보면 된다.

그러다 보면 절로 외워지기 마련이다.

이제 체에 대해 알았으니 유한하다는 것만 알면 유한체를 알 수 있다!

무한한 크기 🌌

설명에 앞서 집합의 크기란 원소의 개수를 의미한다.

앞선 과정(01-2. 닫혀 있다)에서 닫혀 있다에 대해 설명할 때 자연수 집합의 덧셈으로 예를 들었었다.

그런데 뭔가 이상하지 않았는가?

덧셈에 대해 닫혀 있으려면 덧셈의 결과를 다시 덧셈한 것도 집합에 속해야 한다.

이렇게 되면 덧셈을 할수록 숫자가 커지기 때문에 집합의 크기가 계속해서 늘어나야 한다.

다시 말해서 집합의 크기가 무한해야 하는 것이다.

그도 그럴 것이 자연수 자체가 무한개이니 자연수 집합의 크기가 무한인 것은 어찌 보면 당연하다.

그렇다. 자연수 집합은 크기가 무한하면서 덧셈에 닫혀 있다.

여기까진 좋다.

유한한 크기?.. 🧮

하지만 유한체라는 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있으면서도 원소의 개수가 유한개이다.

다시 말해서, 집합의 크기가 유한하면서 덧셈에 대해 닫혀 있다.

이게 말이 된다고 생각하는가?

분명 덧셈을 하면 숫자가 계속해서 커질 테고,

숫자가 커지면 집합의 크기가 계속해서 커져야 함은 당연해 보이는데 어떻게 유한체는 크기가 유한할 수 있단 말인가?

그것은 바로,

유한체는 특별한 계산 방식의 덧셈을 사용하기 때문이다.

특별한 계산 방식의 덧셈을 사용하면 숫자를 아무리 더해도 일정 값 이상 커질 수가 없다.

양의 정수 두 개를 더했는데 오히려 작아지는 마법 같은 일이 벌어지는 것이다.

이로 인해 유한체는 크기가 유한하면서도 덧셈에 대해 닫힐 수 있다.

비트코인에 사용되는 타원 곡선 암호는 유한체의 이러한 특성으로 인해 높은 보안 수준을 유지하면서 빠르고 정확하게 암호를 계산할 수 있다.

이는 아무리 강조해도 지나치지 않을 만큼 정말 정말 중요하다.

그래서 유한체의 특별한 계산 방식인 나머지 연산에 대해 알아볼 것이다.

다음은 유한체가 유한의 크기이면서 사칙연산에 대해 닫힐 수 있게 하는 마법, 나머지 연산에 대해 알아보자.

점검 📄

Q1. 정수 집합은 체인가?

Q2. 양의 정수는 총 몇 개인가?