[유한체] 01-4. 역원

역원 🦥

항등원의 단짝이라 할 수 있는 역원, 逆元 또한 한자어이다.

거스를 역, 逆

으뜸 원, 元

한글로 풀어보면 '거꾸로인 원소'이다.

역시 감이 잘 오지 않는다.

하지만 신기하게도 역원을 찾을 수는 있을 것이다.

또 퀴즈를 내보겠다.

$?+1=1\;+\;?=0$

$1$과 더해서 $0$이 되는 수 $?$는 몇일까?

그렇다. $?$는 $-1$이다.

한 번 더 찾아보자.

$?+7=7\;+\;?=0$

$7$과 더해서 $0$이 되는 수 $?$는 $-7$이다.

마지막으로 한 번만 더 찾아보자.

$?+a=a\;+\;?=0$

$a$와 더해서 $0$이 되는 수 $?$는 무엇일까?

바로 $-a$이며 이것을 바로 덧셈에 대한 역원이라고 한다!

$a$의 덧셈에 대한 역원은 $+a$를 거꾸로 뒤집은 $-a$인 것이다.

그런데 왜 더해서 $0$이 되는 수를 덧셈에 대한 역원이라고 하는 것일까?

그건 0이 덧셈에 대한 항등원이기 때문이다.

덧셈에 대한 역원을 정리하면 다음과 같다.

집합 내 임의의 원소 $a$와 덧셈한 결과가 덧셈에 대한 항등원($0$)인 원소

역원은 항등원과는 다르게 여러 개가 존재하는데,

집합 내의 각 원소에 대해 하나씩 존재한다.

역시나 곱셈에 대한 역원도 존재한다.

곱셈에 대한 항등원은 $1$이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$?*a=a\;*\;?=1$

위의 식에서 $?$는 무엇일까?

그렇다. $a=\cfrac{a}{1}$를 거꾸로 뒤집은 $\cfrac{1}{a}$이며 이를 곱셈에 대한 역원이라고 한다!

여기서 하나 주의할 점은 곱셈에 대한 역원은 분수이기 때문에 $a$가 $0$인 경우는 제외한다.

곱셈에 대한 역원을 정리하면 다음과 같다.

집합 내 임의의 원소 $a$와 곱셈한 결과가 곱셈에 대한 항등원($1$)인 원소

위의 내용을 통해 역원에 대한 식을 일반화해보자.

항등원은 $e$로,
덧셈과 곱셈을 임의의 연산 $△$로,
임의의 연산 $△$의 역원을 $x$로 나타내면 다음과 같다.

$x\;△\;a=a\;△\;x=e$

기호로 나타내서 복잡해 보일 수 있지만 자세히 보면 위의 식들과 다를 게 없음을 알 수 있다.

마지막으로 역원에 대해 정리하면서 마치겠다.

집합 내 임의의 원소 $a$와 연산 $△$을 한 결과가 항등원 $e$가 되는 원소 $x$를 연산 $△$에 대한 역원이라 한다.

역원을 끝으로 드디어 유한체를 정의할 수 있게 되었다!!!

다음은 유한체에 대해 알아보자.

이때까지 배운 것들을 사용할 시간이다!

끝? 🤔

역원을 소개하면서 뺄셈과 나눗셈에 대한 역원을 소개하지 않았다.

그 이유는 뺄셈과 나눗셈에 대한 역원은 존재하지 않기 때문이다.

역원은 항등원이 있어야 정의를 할 수 있어서 항등원이 존재하지 않는 연산에 대해서는 역원이 존재하지 않는다!

점검 📄

Q1. 유리수 집합의 원소 5의 덧셈과 곱셈에 대한 역원은 무엇인가?