[부록] 뺄셈, 나눗셈의 항등원

뺄셈과 나눗셈의 항등원 ❓

뺄셈과 나눗셈에 항등원이 존재하는지는 교환법칙을 사용하면 쉽게 알 수 있다!

$덧셈\;항등원\;식: a+e=e+a=a$

$곱셈\;항등원\;식: a*e=e*a=a$

덧셈과 곱셈에 대한 항등원의 식을 일반화해보자.

일반화하기 위해서 덧셈과 곱셈은 어떤 연산 ☆로 치환해보겠다.

그러면 다음과 같은 식으로 쓸 수 있다.

$a\;☆\;e = e\;☆\;a = a$

이 식을 이용해 뺄셈과 나눗셈의 항등원을 구해보자.

먼저 뺄셈에 대해 알아보자.

어떤 연산 ☆이 뺄셈(-)인 경우이므로 식은 다음과 같다.

$a-e=e-a=a$

따라서 뺄셈의 항등원 $e$가 존재하려면 $a$값에 상관없이 $a-e$ 와 $e-a$ 가 같아야 하는데 여기서 모순이 발생한다.

$a$가 1인 경우만 따져봐도 $1-e \neq e-1$이므로 모순인 것을 알 수 있다.

그래서 뺄셈의 항등원은 존재하지 않는다.

나눗셈의 항등원을 구하는 과정도 동일하다.

어떤 연산 ☆이 나눗셈(/)인 경우이므로 식은 다음과 같다.

$a/e=e/a=a$

마찬가지로 나눗셈의 항등원 $e$가 존재하려면 $a$값에 상관없이 $a/e$ 와 $e/a$ 가 같아야 하는데 이 또한 모순이다.

$a$가 2인 경우를 보면 $2/e \neq e/2$이므로 모순인 것을 알 수 있다.

뺄셈의 경우 $a$가 0이고 $e$가 0인 경우,

나눗셈의 경우 $a$가 1이고 $e$가 1인 경우 위의 식이 성립하지만

집합 내의 임의의 원소 $a$에 대해 성립해야 하므로 뺄셈과 나눗셈에 대한 항등원은 존재하지 않는다.