Computer Animation Ch.8

Computer Animation Algorithms & Techniques (By Rick Parent)
책을 정리한 내용입니다. (틀린 내용이 있을 수 있습니다)

Fluids: Liquids & Gases

• 컴퓨터를 통해 모델링하고 애니메이션하기에 가장 어려운 객체가 정적이고, 고정적이며, 단순한 구조로 정의되지 않은 객체들이다.
  ex) 불, 구름, 물
• 유체에 대한 컴퓨터 처리를 Computational Fluids Dynamics 라고 한다.

8.1 Specific Fluids Models

8.1.1 Models of Waters

• 물은 bump mapping과 같이 곡면의 법선벡터를 수정하여 잔물결을 표현한다.
• 물은 시간에 따라 곡면의 기하도형과 결합하는 형태를 가진 채로 굴러가는 height-field 형태로 모델링 될 수 있다.
• Still Waters and Small-Amplitude Waves
  -> Normal vector perturbation을 이용하면 작은 진폭파의 모양을 시뮬레이션 하는데 사용할 수 있다.
• The Anatomy of Waves
• Modeling Ocean Waves
• Finding Its Way Downhill

8.1.2 Modeling and animating clouds

• Anatomy of clouds and cloud formation
• Cloud models in CG

8.1.3 Modeling and animating fire

• Procedurally Generated Image
  -> 불을 표현하는 가장 쉬운 방법은 화염과 연기를 연상하게 하는 pixel로 절차적 2차원 영상을 생성하는 것이다.
  -> 다중 버퍼와 alpha 채널을 사용하여 제한된 3차원 효과를 낼 수 있다.
• Particle System approach
  • 폭발류 파티클의 2단계 구조(레벨)
    1) 초기 폭발을 시뮬레이션하기 위한 충돌 지점
    2) 파티클들이 동심의 고리로 구성되며, 중심에서 바깥쪽으로 진행되는 것에 맞추어 불의 폭발이 형성
    -> 두번째 레벨의 고리들은 개별적인 파티클 시스템으로 구성되고, 중첩되어 나타난다. (Figure 8.15)
    
• Other Approaches
  1) 2차원 텍스쳐맵 : 시점이 특정 방향일 때만 유효함
  2) two-dimensional-multiple planes : 불에 대한 깊이를 추가(방향은 제한적)
  3) advection-diffusion : 바람에 대한 field를 만들어 적용(수학적으로 복잡함)

8.2 Computational Fluid Dynamics

• 기체와 액체(Fluid)의 동작을 계산하는 컴퓨터 기술을 CFD라고 한다.
• CFD에서는 유체는 특성(밀도,온도,운동량)들이 무한히 작은 지점에서 정의되고, 부드럽게 변화하는 연속적인 매체라고 가정한다.
• 유체는 기하학적 구조를 가지고 있지 않고, 위상학적 구조를 가지지 않는다.
  -> 기체는 compressible / 기체의 밀도가 공간상에서 가변적이고, 밀도의 변화를 계산하는 것에 비용이 든다.
  -> 액체는 incompressible / 액체의 밀도는 상수이다.

8.2.1 General Approaches to Modeling Fluids

• Grid-Based Method
  • 공간을 cell로 분할하고, 각 cell에서 기체의 흐름을 계산한다.
  • cell 내부 기체의 밀도는 단위시간마다 갱신되고, 랜더링 과정에서 visibility와 illumination을 결정한다. (속도, 가속도, 밀도 등 이용)
  • 단점 : 공간을 cell로 분할시 정적인(동적 데이터는 계산량 증가) 데이터 구조를 이용한다면, 시뮬레이션을 하기 위한 공간의 범위를 확장하는 작업이 필요하다.
• Particle-Based Method
  • 파티클은 개별적으로 만들거나, 주어진 밀도의 기체 범위로도 만들 수 있다.
  • 장점 : 강체역학과 비슷하여 수식이 간단하다.(회전 역학만 무시하면 단순화 가능) 기체가 이동하기 위한 시뮬레이션 장치에는 제한을 주지 않는다.
  • 단점 : 기체의 밀도와 팽창력을 시뮬레이션하기 위해서는 많은 양의 파티클이 필요하다
• Hybrid Method
  • grid 내에 있는 파티클을 추적하는 모델(파티클은 cell과 cell 사이를 지나감)
  • 파티클은 디스플레이를 만들기 위해 grid 속에서 속성을 전달하고 분배
  • grid는 디스플레이를 만드는데 사용

8.2.2 CFD Equations

• volume은 작은 fluid 요소들로 분석되고, 해당 요소들에 대한 미분 방정식이 만들어진다.

• 전체 CFD 방정식은 닫힌 시스템에서 아래의 식으로 구성된다.
  1) 질량 보존
  2) 운동량 보존
  3) 에너지 보존

• 방정식으로 표현할 때 Navier-Stokes 방정식이라고 한다.
  -> NS 방정식은 선형미분 방정식이며, 그래픽스 분야에서 간소화하는 방법이 있다.
  1) 에너지 보존 무시
  2) 유체는 비점성
  3) 유체는 밀도가 변하지 않음(액체일때)
  

• Conservation of Mass

  • 질량 보존은 연속 방정식에 의해 표현된다.
  • $\rho$ : 밀도 $P$ : 압력 $A$ : x방향에 수직인 면의 흐름 $V$ : cell의 부피
    -> $-\frac{d(\rho V)}{dt}=(\rho v_x A)\left\vert_{x+dx}-(\rho v_x A)\right\vert_x$
    -> cell 차원에서 부피V와 영역A를 치환
    -> $dxdydz$로 나눔
    -> 치환과 $x,y,z$방향의 유동을 포함
    $-\frac{d(\rho)}{dt}=\frac{\delta(\rho v_x)}{dx}+\frac{\delta(\rho v_y)}{\delta y}+\frac{\delta(\rho v_z)}{\delta z}$ (식 1)
    -> $\nabla \bullet F=\frac{\delta F}{\delta x}+\frac{\delta F}{\delta y}+\frac{\delta F}{\delta z}$
    -> $-\frac{d(\rho)}{dt}=\nabla \bullet(\rho v)$ (식 1에 발산 연산자 이용)
    => 유체가 압축될 수 없으면, 밀도도 변하지 않는다.
    $\frac{d(\rho)}{dt}=0$ 이므로 $0=\nabla \bullet v$

• Conservation of Momentum

  • 유체의 운동량 = 밀도 x 유체의 부피 x 유체의 평균 속도
  • 3차원 cell에서 x방향만 생각
    -> $-(p\left\vert^A_{x+dx}-p \right\vert^A_x) = \frac{d(\rho Vv)}{dt}+((\rho v_xA)v\left\vert_{x+dx}-(\rho v_xA)v\right\vert_x)$
    -> 위 식을 치환
    $-\frac{dp}{dx}=\frac{\delta(\rho v_xv)}{\delta x}+\frac{d(\rho v)}{dt}$
    -> $x,y,z$ 방향 모두 고려하고, x방향의 운동량을 분류하면 아래와 같다.
    $-\frac{dp}{dt}=\frac{\delta(\rho v_x^2)}{\delta x}+\frac{\delta(\rho v_yv_z)}{\delta y}+\frac{\delta(\rho v_zv_x)}{\delta z}+\frac{d(\rho v_x)}{d t}$

• 방정식 풀이
  -> cell에서의 경계조건이 필요하다.
  -> 격자의 각 cell에서 CFD 방정식은 행렬 방정식의 희소 집합 생성
  -> LU와 결합증감 등으로 희소 행렬을 해결한다.

• 안정된 유동체
  -> Navier-Stokes 방정식은 공학적으로 정확하지 않지만, 그래픽스에서 사용하기에 유용하다.

• 밀도 갱신
  밀도 방정식 ($\rho$ : 밀도, $s$ : 밀도를 변화시키는 다른 요인, $k$ : 밀도의 발산, $u$ : 속도 영역에 따른 이류)

  $\frac{\delta \rho}{\delta t}=s+k \nabla^2\rho-(u\bullet \nabla)\rho$

  -> 첫항 : 사용자 상호작용이나 환경에 의해 지정된 밀도 소스 배열
  -> 둘째항 : 각 셀로부터 이웃 셀까지 밀도 확산
  -> 셋째항 : 속도 영역에 따라 밀도를 이류

• 속도 갱신
  속도 방정식($f$ : 외부힘)

  $\frac{\delta u}{\delta t}=f+\mu\nabla^2u-(u\bullet\nabla)u$

  -> 첫항 : 사용자나 환경으로부터 더해짐
  -> 둘째항 : 속도의 확산 허용
  -> 셋째항 : 속도 영역에 의해 수행되도록 속도 허용