문제 설명

철호는 수열을 가지고 놀기 좋아합니다. 어느 날 철호는 어떤 자연수로 이루어진 원형 수열의 연속하는 부분 수열의 합으로 만들 수 있는 수가 모두 몇 가지인지 알아보고 싶어졌습니다. 원형 수열이란 일반적인 수열에서 처음과 끝이 연결된 형태의 수열을 말합니다. 예를 들어 수열 [7, 9, 1, 1, 4] 로 원형 수열을 만들면 다음과 같습니다.

원형 수열은 처음과 끝이 연결되어 끊기는 부분이 없기 때문에 연속하는 부분 수열도 일반적인 수열보다 많아집니다.
원형 수열의 모든 원소 elements가 순서대로 주어질 때, 원형 수열의 연속 부분 수열 합으로 만들 수 있는 수의 개수를 return 하도록 solution 함수를 완성해주세요.

제한 사항

3 ≤ elements의 길이 ≤ 1,000
1 ≤ elements의 원소 ≤ 1,000

코드

def solution(elements):
    answer = 0
    
    dp=[[0]*len(elements)*2 for _ in range(len(elements))]
    
    answer_set=set()
    
    # 원형 배열은 배열 두개를 늘어뜨리면 된다.
    for j in range(len(elements)):
        answer_set.add(elements[j])
        dp[0][j]=elements[j]
        dp[0][j+len(elements)]=elements[j]
    
    for i in range(1,len(dp)):
        for j in range(i,len(dp[0])):
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[0][j]
            answer_set.add(dp[i][j])

    return len(answer_set)

해설

부분수열을 구하다 보면, '중복되는' 구간이 존재한다.
그리고 길이가 n인 부분 수열의 합은 길이가 n-1인 부분 수열의 합에 의존한다.
따라서 길이가 n-1인 부분 수열의 합을 구할 수 있으면 길이가 n인 부분 수열의 합도 구할 수 있기 때문에 DP를 활용하면 효율적으로 풀 수 있다.

원형 배열을 다루기 앞서 일반 배열에 대한 부분 수열의 합을 구하면 다음과 같다.

7 9 1 1 4
  16 10 2 5
     17 11 6
        18 15
           22

이를 배열 형태로 깔끔히 나타내면 다음과 같다.

7 9 1 1 4
0 16 10 2 5 
0 0 17 11 6 
0 0 0 18 15 
0 0 0 0 22 

형태를 보고 점화식을 만들어보면 arr[x][y]=arr[x-1][y-1]+arr[0][y]가 성립함을 알 수 있다.

이를 원형 배열로 확장해보자. 원형 배열은 대부분 배열 옆에 똑같은 배열을 배치하면 만들 수 있다.

그리고 이 원형 배열에 대해 위 점화식을 적용하면 다음과 같다.

7 9 1 1 4 7 9 1 1 4 
0 16 10 2 5 11 16 10 2 5 
0 0 17 11 6 12 20 17 11 6 
0 0 0 18 15 13 21 21 18 15 
0 0 0 0 22 22 22 22 22 22