문제

초항 $a_1$, $a_2$가 정해져 있고 $a_i=b \cdot a_{i-1}+c \cdot a_{i-2}$ ($i \ge 3$)이 성립하는 수열 $a$에서, $n$이 무한히 증가할 때

$\frac{a_n}{a_{n-1}}$의 극한을 구하여라.

이 값은 항상 수렴함을 증명할 수 있다.

입력

첫 번째 줄에 정수 $b$, $c$, $a_1$, $a_2$가 공백으로 구분되어 주어진다. $(1 \leq b, c, a_1, a_2 \leq 10^9)$ 

출력

식의 극한값을 출력한다. 절대/상대 오차는 $10^{-6}$까지 허용한다.

어떻게 풀까?

1. 수열의 극한값이 항상 존재함을 문제에서 명시했기 때문에 이 값을 $k$라 두고 이를 출력한다.
2. $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ 의 극한값은 $\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ 극한값이랑 같다.
3. $a_i=b \cdot a_{i-1}+c \cdot a_{i-2}$ ($i \ge 3$) 에서 양변을 $a_{i-1}$로 나누면 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=b+c \cdot \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}$ ($i \ge 3$)이 된다.

$\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}$ 는 $\frac{1}{\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}}$ 이므로 $n$를 무한히 증가할 때 $\frac{1}{k}$ 로 수렴한다.

수렴값을 $k$ 로 치환하면 위 식은 $k = b + \frac{c}{k}$ 가 되고 양변을 $k$ 를 곱하고 k에 대한 방정식으로 정리하면 $k^{2} - b \cdot k - c = 0$ 이 된다.
이는 $k$ 에 관한 2차 방정식이다.

$b$, $c$, $a_1$, $a_2$ 는 모두 양수이므로 $\frac{a_n}{a_{n-1}}$의 극한값인 $k$는 양수임을 알 수 있다.

근의공식에 의해 $k = \frac{b + \sqrt{b^{2} + 4 \cdot c}}{2}$ 이므로 이를 출력해주면 된다.

고민한 부분

소수점 표현을 어떻게 할지가 고민이었다. 소수점 아래 6자리 이상 출력해야할것 같아서

cout << fixed;
cout.precision(10);

을 활용했다.