2장. 운동

📐 막간 - 미분

✅ 고전역학의 대부분은 시간의 연속적인 변화에 따라 나타나는 연속적인 변화를 다룬다. 따라서 우리는 연속적인 변화에 수학적으로 대처하기 위해 미적분이라는 수학을 사용한다.

극한의 개념과 도함수

극한

• 어떤 수열이 증가함에 따라 어떤 값 $L$에 점점 더 가까이 다가가면, 이 수열의 극한은 $L$이다.
  → 그 어떤 항도 $L$과 같지는 않지만, 점점 더 $L$에 가까워진다.

• 매개변수 $t$에 따라 그 값이 변하는 함수 $f(t)$에 대해서 만약 $t$가 $a$에 가까워질 수록 $f(t)$가 어떤 값 $L$에 점점 더 가까이 다가가면, $t$가 $a$에 다가갈 때의 $f(t)$의 극한이 $L$이다.
  $\lim_{t→a}f(t)=L$

⇒ $f(t)$는 $t$가 변함에 따라서 그 함숫값이 함께 변화한다. 미분법은 이러한 함수의 변화율을 다룬다.

도함수

• 변화율 : $t$의 변화에 대한 $f$의 변화의 비율

• $t$가 어떤 시간 $Δt$만큼 변화하면, 이 시간동안 함수 $f$는
  $Δf = f(t+Δt)-f(t)$

• 이때 이 시간간격 $Δt$를 아주 작게, 0에 가까이 극한을 보냈을 때 변화율의 극한값을 정의할 수 있다.

  • $Δt$, $Δf$모두 0으로 수렴하지만, 이들의 비율은 어떤 극한값으로 나타난다.
  • 이를 $t$에 대한 $f(t)$의 도함수라고 한다.
    $\frac{df(t)}{dt}=\lim_{Δt→0}\frac{Δf}{Δt}=\lim_{Δt→0}\frac{f(t+Δt)-f(t)}{Δt}$

• 위 과정을 거쳐서 다양한 함수의 도함수를 계산할 수 있다.

🎾 입자의 운동

입자?

점 입자는 이상적인 개념이다.

• 현실세계에서 그 어떤 물체도 ‘점’이라고 할 만큼 작지 않다.
• 하지만 물리학에서 상대적으로 작은 것들을 점으로 간주하고는 한다.
  ex) 태양 주위를 공전하는 지구에 대한 궤도를 계산할 때, 지구의 크기를 무시

입자의 위치

위치의 표현

• 입자의 위치는 3개의 공간 좌표값을 부여하여 정해진다.
  • $t$에 대한 3개의 축에 대한 함수 $x(t), y(t), z(t)$
• 벡터 표현법
  • 각 성분을 $x,y,z$로 가지는 벡터 $r$
  • 이때, 입자의 경로는 $r(t)$로부터 정해진다.

입자의 속도

속도의 정의

• $t$가 어떤 시간 $Δt$만큼 변화하면, 이 시간동안 시간에 따른 함수인 $x(t),y(t),z(t)$ or $r(t)$는 변화한다.
• 순간적인 속도 - 시간에 따른 위치의 변화율

*물리량의 표현

• 뉴턴 표기법 : 어떤 양 위에 위치된 점($.$)은 시간 도함수를 취한다는 약속된 표기법
  ex) $\dot x_i$

• 압축된 표기법

  • 3개의 위치에 대한 좌표
    $x,y,z → x_i$
  • 속도 성분
    $v_i$

속력

• 속도 벡터의 크기
• 방향과 상관없이 입자가 얼마나 빨리 움직이는지를 나타낸다.

입자의 가속도

가속도의 정의

• 시간에 따른 속도의 변화율
• 속도의 도함수
• 위치에 대한 2차 시간 도함수
  $\ddot x_i$ (뉴턴표기법)

🪂 운동의 예

자유낙하 운동

$z$축을 따라 중력가속도($g$)만큼 가속되는 낙하하는 입자의 운동 (다른 두 방향으로는 운동이 없다)

위치의 방정식

• $x, y$방향으로는 움직이지 않음 (정지상태)
• $z$축을 따라서 움직인다.

속도의 방정식

속도 : 시간에 따른 위치의 변화율

• $x, y$성분은 항상 0
• $z$성분의 속도의 방정식은 초기 속도 $v(0) - gt$로 구성되는데, 시간이 $t=0$에서 증가함에 따라 결국 상수인 $v(0)$은 gt항에 따라잡히게 되어 운동방향은 $-z$ 방향으로 변화한다.

가속도의 방정식

가속도 : 시간에 따른 속도의 변화율

• $x, y$성분은 항상 0
• $z$축방향의 가속도는 음수인 상수로 $-g$이다.

⇒ 위에서 설명한 방정식에서 만약 $z$축이 높이를 나타낸다면, 이 운동은 일정 높이 ($z(0)$)에서 낙하하는 물체와 동일한 방식으로 운동하게 될 것이다.

단순 조화 운동

x축을 따라 앞뒤로 움직이며 진동하는 입자의 운동 (다른 두 방향으로는 운동이 없다)

단순한 진동운동의 방정식 표현에는 삼각함수를 이용한다.

위치의 방정식

$ω$는 상수로, 이 값이 클수록 입자는 더 급속으로 진동한다. (주기가 짧다)

$x-t$그래프

속도와 가속도의 방정식

• 위치와 속도의 위상차는 $90°$이다.
  위치 $x$가 최댓값이나 최솟값을 가질 떄, 그 속도는 0
  ↔ 위치가 0일 떄 그 속도는 최대이거나 최소

• 위치와 가속도의 위상차는 $180°$이다.

  • 가속도의 방정식과 위치의 방정식 모두 $sin\ ωt$에 비례하지만, 가속도는 위치와 반대방향으로 작용한다.
  • $x$가 양수이면 $a$는 음수, $x$가 음수이면 $a$는 양수이다.
  • 입자가 어디에 위치하든간에, 원점 방향으로 되돌아가게 가속도가 작용한다.

$x(t)$, $v(t)$두 그래프는 $90° = π/2$만큼 $t$축상의 차이가 존재

$x(t), a(t)$두 그래프는 $180° = π$만큼 $t$축상의 차이가 존재

+$\ \ ω$값에 따른 그래프 변화

원운동

$xy$평면에서 원점을 중심으로 일정한 속력으로 원을 따라 움직이는 입자의 운동 ($z$축 방향은 무시)

$xy$평면상의 운동을 표현하기 위해, $t$에 대한 위치의 함수 $x(t)$와 $y(t)$가 있어야 한다.

단순 조화운동으로 생각한 원운동 - 위치의 방정식

$x$축 $y$축에 대해 각각 위상차가 $90$도인 단순 조화운동을 하는 입자의 운동 $x$

$x$축, $y$축에 투영한 원운동의 그림

• 궤도 반지름을 $R$이라고 할 때, $xy$평면상에서 일어나는 원운동을 각각의 축$(x,y)$에 투영시켜 생각하자.
• 입자는 $x$축 상에서 $-R$과 $R$사이를 진동하고, $y$축에서 또한 $-R$과 $R$사이를 진동한다.
• 단 $x$축상에서의 좌표와 $y$축 상에서의 좌표에는 $90°$의 위상차가 나타난다.
  • $x$가 최대($=R$)이면 $y$는 $0$
  • $y$가 최대($=R$)이면 $x$는 $0$

각진동수

• $ω$는 각진동수로, 단위시간당 각이 진행한 라디안으로 정의된다.
• 주기 $T$와 관련있다.

속도, 가속도의 방정식

• 원운동에서 가속도벡터는 위치벡터와 평행하지만 그 방향은 반대이다.

  → 가속도벡터는 원점을 향해 안쪽으로 작용한다.

• 위치벡터와 속도벡터는 수직이다.

---

공식 정리

📐 막간. 적분법

⚡ 미분법은 변화율과 관계가 있고 적분법은 수많은 미세한 증가량들의 합과 관계있다. → 둘은 분명 관계가 있다.

정적분의 정의

적분법의 핵심적인 문제는 어떤 함수의 곡선 아래의 넓이를 계산하는 것이다.

• 특정 구간을 적분하기 위해 임의의 두 값 a와 b를 생각한다. [적분한계]

• 해당 구간에서 가지는 넓이의 영억을 여러개의 동일한 가로길이를 가지는 직사각형들로 쪼개서 생각한다.

• 이러한 직사각형들을 모두 더한 값은, 그래프 아래의 영역과 어느정도 비슷-근사- 하다고 볼 수 있다.

  ⇒ 만약 각각의 직사각형의 폭을 0으로 아주 작게 줄여 선으로 생각할 수 있다면, 이는 해당 영역의 넓이와 같다고 생각할 수 있다.

한도 $t=a$와 $t=b$사이의 $f(t)$함수의 정적분은 그렇게 정의된다.

(적분기호가 시그마를 대체하고, $Δt$는 $dt$로 대체된다.)

부정적분과 미적분학의 기본정리

부정적분

• 정적분에서 적분 한도 둘 중 하나를 정해진 값인 상수가 아니라, 변수로 생각한 것
• 고정된 값에서 변수까지 적분한 것
• 주로 적분한계없이 표현한다

미적분학의 기본정리

fundamental therem of calculus

수학에서 가장 단순하면서도 가장 아름다운 결과

• 적분과 미분 사이에 깊은관계가 존재함을 보이는 정리

과정 설명

• 부정적분을 정의할 때 사용했던 변수 $T$에서 아주 작은 증가분 $Δt$만큼이 더해진 $T+Δt$에 대한 부정적분을 생각해보자.
• 이는 폭이 $Δt$인 직사각형을 1개 더 추가한 셈이기 때문에, $T$에 대한 부정적분과 $T+Δt$에 대한 부정적분의 차이는 추가된 직사각형 넓이인 $f(t)Δt$와 같다.
• 위 성질을 이용하여 수식으로 표현한 것을 도함수의 기본정의 꼴 ($Δt$로 나누고 $Δt→0$인 극한을 취함)로 표현하면, 미적분과 적분을 연결하는 기본 정리를 찾아낼 수 있다.
  ${dF(t) \over dt} = f(t)$

적분과 미분의 과정은 역관계이다.

• 이는 어떤 함수의 도함수로부터 기존함수을 얻어낼 수 있다는 의미이다. → 이를 이용하여 여러 함수의 부정적분을 구할 수 있다.
• 부정적분의 결과에 추가되는 상수 C는 두 적분한계가 동일한 경우 그 적분값이 0이 된다는 사실을 이용해서 구할 수 있다.

미적분학의 기본정리

$∫{df(t)\over dt}dt = f(t)+c$

$∫^b_af(t)dt = F(t)|^b_a = F(b)-F(a)$

적분 방법

부분적분

🌊 만약 혼자서 알지 못하는 적분을 해결하고자 하려면, 교과서에 나오는 가장 오래된 해결법은 부분적분이다.

(곱의 미분을 적분으로 표현한 것)

공식 정리

본 포스팅은 레너드 서스킨드의 물리의 정석 - 고전 역학편을 기반으로 작성되었습니다.