[부스트캠프 Pre-Cource] 3. 행렬과 벡터

김상윤·2022년 7월 30일

부스트캠프AI-PreCource

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벡터

numpy

: numpy list는 행(row)이 기본단위이다.

벡터 연산

성분곱

: 각 성분을 곱한 연산
: 같은 모양끼리만 가능

x = np.array([1,2,3])
y = np.array([5,2,1])
z = x*y # 벡터 성분곱

내적

y에 대한 x의 정사영에, ||y||만큼 곱한 값
두 벡터의 각 성분의 곱의 합
두 벡터 사이의 각도

def angle(x,y):
	v = np.inner(x, y) / (l2_norm(x) * l2_norm(y)
    theta = np.arccos(v)
    return theta

Norm

벡터의 원점부터의 거리
||x|| : norm 기호

L1-norm

모든 성분의 절대값 합
||x||1

L2-norm

유클리드 거리(피타고라스 정리)
: 직선거리
||x||2

def l1_norm(x):
	norm_x = np.abs(x)
    norm_x = np.sum(norm_x)
    return norm_x
    
def l2_norm(x):
	norm_x = x*x
    norm_x = np.sum(norm_x)
    norm_x = np.sqrt(norm_x)
    return norm_x

norm에 따른 원

norm의 종류에 따라 기하학적 성질이 달라진다.
원 : 원점으로부터 거리가 같은 점들의 집합

행렬

행렬의 연산

성분곱

: 벡터와 같이 각 인덱의 위치끼리 곱한 결과 (같은 형태의 벡터끼리만 가능)

행렬곱 = np.matmul()

XY
: X행렬의 i번째 행벡터와 Y행렬의 j번째 열벡터의 내적을 성분으로 가지는 행렬
X의 행벡터 크기와 Y의 열벡터 크기가 같아야한다.
numpy에서 @ 연산자로 연산 가능

x = np.array([[1,-2,3], [7,5,0], [-2,-1,2]])
y = np.array([[0,1], [1,-1], [-2,1]])
print(x @ y)
# [[-8  6]
#  [ 5  2]
#  [-5  1]]

행렬의 내적

행렬의 다양한 표현
(numpy에서는 행이 기본 단위이기 때문에 y에 transpose를 하는게 맞다.)
(아래 그림에서는 열이 기본단위인 수식)

np.inner

X(Y^T)
: 행렬X와 행렬Y-transpose의 행렬곱
두 행렬의 행벡터 크기가 같아야 한다. (열의 size가 같아야 한다.)
numpy에서의 행렬 내적 : np.inner
- X행렬의 i번째 행벡터와 Y행렬의 j번째 행벡터의 내적을 성분으로 가지는 행렬
  : 두 행렬의 행벡터로 연산을 하기 때문에 transpose하면 안된다.

np.dot()

np.dot(X, Y)
: X행렬의 i번째 행벡터와 Y행렬의 j번째 열벡터의 내적을 성분으로 가지는 행렬

1차원

shape 정리 안 해줘도 된다.

X = np.array([1,2,3])
Y = np.array([1,2,3])
Z = np.array([[1],[2],[3]])

print(np.dot(X,Y))
# 14
print(np.dot(X,Z))
# [14]

2차원

행렬곱(@) = np.matmul과 차이 없다.
행렬곱(@) = np.matmul 사용을 권장
shape 정리 안 할시 오류 발생
: ( A x N) dot ( N x B )

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])
C = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])

print(np.dot(A,B))
# array([[22, 28],
#        [49, 64]])
print(np.dot(A,C))
# Error