선형변환

선형함수(linear function)

함수 f가 아래 두가지 조건을 만족하면 함수 f를 선형함수(linear function)이라고 한다.

f(x+y) = f(x) + f(y)
f(cx) = cf(x) (이때 c는 임의의 스칼라)

선형변환(linear transformation)

변환?

입력 n-벡터 --> 출력 : m-벡터로 만들어주는 함수를 transformation이라고 한다.
(n==m인경우, 해당 변환을 연산자(operator) 라고 한다.)

행렬변환(Matrix Trnasformation)

m*n 행렬 A에 대해 Ax는 n-벡터를 입력받아 m-벡터를 출력으로 내는 변환으로 볼 수 있고 이를 행렬변환이라고 한다.

• 행렬변환은 선형함수의 성질을 모두 만족하므로 선형변환이다.
• 선형변환은 행렬로 표현할 수 있다.

행렬변환 코딩하기

입력이 n-벡터, 출력이 m-벡터 이면
--> m*n 표준행렬(standard matrix)을 만든다.

표준행렬 구하기

$A = [T_A(e_1), T_A(e_2) ... T_A(e_n)]_{m*n}$
1. n-차원 표준기저 벡터 ${e_1, e_2 ... e_n}$ 를 생각한다.
2. 각 n-차원 표준기저벡터 $e_i$에 대해, 원하는 기능을 동작시켜 얻은 결과인 m-차원 벡터 $T(e_i)$를 표준행렬의 각 열에 적는다.

• ex) 2차원 벡터를 입력받아, 해당 벡터를 x-축에 projection하는 기능을 구현해보자.

  풀이
  입력 : 2차원 --> 출력 : 2차원 : 표준행렬 : 2*2
  $e_1$ 즉 (1,0)을 x축에 projection한 결과 : (1, 0)
  $e_2$ 즉 (0, 1)을 x축에 projection한 결과 : (0, 0)
  --> $A = [T_A(e_1), T_A(e_2)]_{2*2}$ =