가우스 소거법

• ax = b에서, a의 역수(inverse)가 존재하지 않는 경우, a는 singular 하다고 한다.
  ex) a = 0인경우, 역수가 존재하지 않으므로 a는 singular하다.

• 해가 있으면 -->선형시스템이 consistent하다고 한다.

• 해가 없으면 -->선형시스템이 inconsistent하다고 한다.

Gauss elimination(가우스 소거법)

가우스 소거법은 m*n 선형시스템의 해를 구하는 가장 대표적인 방법.
다음 두 단계로 수행된다.

1. Forward elimination(전방소거법) : 주어진 선형시스템을 아래로 갈수록 더 단순한 형태의 선형방정식을 가지도록 변형한다.
2. back-substitution(후방대입법) : 아래에서부터 위로 미지수를 실제값으로 대체한다.

1. Forward elimination(전방소거법)

주어진 선형시스템을 아래로 갈수록 더 단순한 형태의 선형방정식을 가지도록 변형

위 예시처럼, 마지막 행은 가장 단순한 선형방정식이 나오게 됨.

• 소거법에 활용되는 3가지 기본행연산

• 치환 : $r_j <- r_j - mr_i$
• 교환 : $r_j <-> r_i$
• 스케일링 : $r_j <- sr_j$

• 과정

1. 1행 1열을 기준으로 잡기.
2. r2 <- r2 - r1
3. r3 <- r3 - 2*r1
4. 2행 2열을 기준으로 잡기
5. r2 <-> r3
6. r2 <- -r2
7. 3행 3열을 기준으로 잡기
8. r3 <- $1\over2$*r3

• 전방소거법의 가치

• 선형시스템을 가장 풀기 쉬운 꼴로 변형해준다.
• 선형시스템의 rank를 알려준다.
• 선형시스템이 해가 있는지(consistent) 혹은 해가 없는지(inconsistent) 알려준다.

2. Back-substitution(후방대입법)

아래에서부터 위로 미지수를 실제값으로 대체하여 선형시스템의 해를 구할 수 있다.