위상수학 1일차

위상수학을 공부하고 나면, 도넛과 컵의 차이를 구분할 수 없게 된다고 한다.
젓가락은 도넛과 다르지만, 컵은 도넛과 equivalent 하다.
이걸 실습해본다고, 오늘은 진짜 도넛반죽을 주물러서 컵 모양을 만들어보는 일을 했다.

젓가락을 만들려면 도넛을 끊어내야하는 (discrete operation) 과정이 반드시 필요하지만,
컵은 주물러 주기만 해도 (continuous operation) 반죽모양을 만들 수 있다.

Topology 가 대체 뭐냐라고 간단하게 정리한다면,
"Generalized collection of open sets" 라고 할수 있다.

교육과정에서 성취하고자 하는 것은, 학생들을 Topologist 처럼 사고하도록 사고방식을 바꾸는 것이라 한다.
Topologist 처럼 생각하게 되면, metric 단위에서 open set 단위로 세상을 볼 수 있게 된다고 하는데 무슨 소리인지 모르겠다.

Open Set 은 metric space 에서는 open ball 이라고 하기도 하는데,
Topologist 처럼 생각하면, 납작한 사각종이가 갑자기 동그란 3차원 sphere 로 보인다고 한다.
우리가 사는 지구 지도가 평평하지 않고, 사실은 동그란 구라고 하면 사람들이 미쳤다고 하지 않을까.

가령 2개의 Metric Space 인 (X,d1), (X,d2) 가 equivalent 하다는 것은 다음과 같이 정의된다.
서로 같은 Open ball 을 만들 수 있다.

즉, 사각형의 가장자리를 없애고 둥글게 합치면 된다고 한다.

뭔소리인지 모르겠으니 그냥 암기를 하기로 했다.
Topology on X 는 X 의 부분집합들의 집합이다.
Topology 는 다음 조건을 만족해야한다.

1. 공집합과 X 를 원소로 포함한다.
2. arbitrary union of elements 가 다시 Topology 의 원소가 된다.
3. finite intersection of elements 가 다시 Topology 의 원소가 된다.

arbitrary 와 finite 라는 조건이 왜 붙었는지 궁금해서 물어보니, 다음 2가지 이유 때문이라고 한다.
"arbitrary union of closed set can be open"
"arbitrary intersection of open set can be closed"
즉, arbitrary union of open set 은 항상 open 임을 보장할 수 있지만
arbitrary intersection of open set 은 항상 open 임을 보장할 수 없기 때문이다.

왜 보장할 수 없는지는 해석학 시간에 배우지 않았냐고 핀잔을 들었는데, 솔직히 기억이 안난다. 큰일났다.

참고로 open 의 정의를 반대로 배우게 되었는데, open subset 의 집합이 Topology 가 아니라, Topology 에 속한 subset 이 open 이라고 생각하라고 한다.

대체 이걸 왜 공부하지?

그래서 대체 왜 topology 를 공부해야되느냐 라고 하면, metric 이 정의되지 않은 공간에서 continuity 를 탐구하기 위해서라고 할 것 같다.

x1 과 x2 가 극한으로 가까워지면, f(x1) 과 f(x2) 또한 극한으로 가까워질 때, f 를 continous 하다고 한다.

근데 topology 에서는 이 continuity 가 open set 을 이용한 정의로 바뀐다.
For all open ball f(U) in X, inverse ball f-1(U) is also open in X.

이 두 정의가 사실 equivalent 함을 해석학 때 증명했었던 것 같지만, 기억이 나지 않는다. 큰일이다.

추가로 공부할 것

• compact set : For every open cover, there is finite subcover
• connected subset: