최단 경로 알고리즘

가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
ex) 한 지점 ~ 다른 한 지점까지의 최단 경로 / 한 지점 ~ 다른 모든 지점까지의 최단 경로 / 모든 지점 ~ 다른 모든 지점까지의 최단 경로

• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현(국가, 집 등 여러 것에 빗대어짐)
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

다익스트라 최단 경로 알고리즘

특정한 한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작(현실의 간선에는 음의 간선이 없음)
매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택하는 그리디 알고리즘의 일종이며, 다이나믹 프로그래밍의 원리도 적용되어 있음
1. 출발 노드 설정
2. 도착 노드별 최단 거리 테이블 초기화(무한으로)
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
5. 3. ~ 4. 반복
단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음(한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확정하여 찾는 것으로 볼 수 있음)
마지막 노드는 처리하지 않아도 결과를 구할 수 있음
위 과정을 거치면 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장되는데, 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 추가적인 기능을 넣어야 함

기본적인 구현 방법

시간 복잡도는 O(V2) 이므로 일반적으로 문제에서 전체 노드의 갯수가 5000개 이하라면 해결 가능

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 갯수, 간선의 갯수
n, m = map(int, input().split())
# 출발 노드 번호
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담은 그래프
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 리스트
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이븧(모두 무한으로 초기화)
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
	a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용 = c 라는 의미
    graph[a].append((b,c))

# 방문하지 않은 노드 중 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
	min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
    	if distance[i] < min_value and not visited[i]:
        	min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
	# 시작 노드에 대해 초기화
	distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
    	distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
    	# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
        	cost = distance[now] + j[i]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
            	distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
	# 도달할 수 없는 경우 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
    	print('무한')
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
    	print(distance[i])

우선순위 큐를 활용하여 속도를 개선한 방법

우선순위 큐(Priority Queue)

우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
대부분의 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원

힙(Heap)

우선순위 큐를 구현하기 위해 사용되는 자료구조 중 하나
최소 힙 / 최대 힙이 있음
다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용

• 최소 힙 구현 예시
  heapq 라이브러리는 디폴트가 최소 힙이므로, 메서드를 이용해 값을 넣고 빼기만 하면 최소 힙 구현 가능

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap sort)
def heapsort(iterable):
	h = []
    result = []
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, value)
    for i in range(len(h)):
    	result.append(heapq.heappop(h))
   	return result

result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0]) # 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
print(result)  

• 최대 힙 구현 예시

import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap sort)
def heapsort(iterable):
	h = []
    result = []
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, -value)
    for i in range(len(h)):
    	result.append(-heapq.heappop(h))
   	return result

result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)  # 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

힙을 사용한 다익스트라 알고리즘 개선

단계별로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조 이용
현재 가장 가까운 노드를 저장해 두기 위해서 힙 자료구조 이용
현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙 사용
시간 복잡도는 O(ElogV)
직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사

import sys
import heapq
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 갯수, 간선의 갯수
n, m = map(int, input().split())
# 출발 노드 번호
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담은 그래프
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이븧(모두 무한으로 초기화)
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
	a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용 = c 라는 의미
    graph[a].append((b,c))

# 최소 힙을 활용한 다익스트라 함수
def dijkstra(start):
	q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하며, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0,start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
    	# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if dist[now] < dist:
        	continue
        for i in graph[now]:
        	cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
            	distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
	# 도달할 수 없는 경우 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
    	print('무한')
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
    	print(distance[i])

플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall)

모든 노드 ~ 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산(2차원 테이블에 최단 거리 정보 저장)
다익스트라와 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행하지만, 매 단계별로 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지는 않음
다이나믹 프로그래밍 유형의 일종
노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행 -> 시간 복잡도는 O(N3) 으로, 노드와 간선의 갯수가 500개 이하인 경우에 일반적으로 사용(많은 경우에는 다익스트라가 보다 적합할 수 있음)

• 점화식
  a ~ b로 가는 최단 거리보다 k를 거쳐 a에서 b로 가는 거리(a ~ k ~ b)가 더 짧은지 검사
  

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 갯수, 간선의 갯수 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
    	if a == b:
        	graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아 그 값으로 그래프 초기화
for _ in range(m):
	# a ~ b로 가는 비용 = c라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
	for a in range(1, n+1):
    	for b in range(1, n+1):
        	graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과 출력
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
    	# 도달할 수 없는 경우 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
        	print('무한')
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
        	print(graph[a][b], end=' ')
     print()