서로소 집합 알고리즘
서로소 집합(Disjoint Sets)
공통 원소가 없는 두 집합
# a, b는 서로소 관계
a = [1,2]
b = [3,4]
# a, b는 서로소 관계가 아님
a = [1,2]
b = [2,3]서로소 집합 자료구조(Union-Find)
서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조(두 집합이 서로소 관계인지 판별하기 위한 자료구조)
두 종류의 연산을 지원
- 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
- 찾기(Find): 특정 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
-> 합치기 - 찾기(Union-Find) 자료구조라고도 불림
서로소 집합을 확인하는 기본적인 구현 방법
여러 개의 합치기(Union) 연산을 처리하는 동작 과정
1. 합집합 연산을 통해 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인
2. A와 B의 부모 노드 A', B'를 찾기
3. A'를 B'의 부모 노드로 설정 (보통 작은 쪽을 부모로 설정, 즉 A'<B' -> 연결이라고 이해해도 됨)
4. 모든 합집합 연산을 처리할 때까지 1. ~ 3. 반복
5. 연결성을 통해 집합의 형태 확인
-> 어떤 노드의 루트 노드(최종 부모 노드)를 찾기 위해서는 부모 노드 테이블을 계속해서 확인하여 최종 부모까지 거슬러 올라가야 함(바로 접근할 수 없음)
# 특정 원소가 속한 집합을 찾는 함수
def find_parent(parent, x):
# 부모 노드가 아니라면, 부모 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 부모 테이블 초기화
parent = [0] * (v+1)
# 부모 테이블상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# 각 원소에 대해 union 함수 실행
for i in range(e):
a, b = map(int,input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합은: ', end='')
for i in range(1, v+1):
print(find_parent(parent,i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블은: ', end='')
for i in range(1, v+1):
print(parent[i], end=' ')서로소 집합 자료구조를 이용한 사이클 판별 알고리즘
- 그래프의 각 간선을 하나씩 확인하며 간선을 이루는 양쪽 두 노드의 부모 노드를 확인(
find_parent함수)
- 2-1) 양 노드의 부모 노드가 서로 다르다면 -> 두 노드에 대해 합집한 연산 수행(
union_parent함수) - 2-2) 양 노드의 부모 노드가 서로 같다면 -> 사이클 발생
- 그래프에 있는 모든 간선에 대해 1번 과정 반복
# 특정 원소가 속한 집합을 찾는 함수
def find_parent(parent, x):
# 부모 노드가 아니라면, 부모 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 부모 테이블 초기화
parent = [0] * (v+1)
# 부모 테이블상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# 사이클 발생 여부
is_cycle = False
for i in range(e):
a, b = map(int,input().split())
# 사이클이 발생 -> 반복문 중지(종료)
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
is_cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않음 -> 합집합 연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
# 사이클 발생 여부 출력
if is_cycle:
print('사이클 발생 O')
else:
print('사이클 발생 X')신장 트리
그래프의 모든 노드를 포함하면서, 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 하므로 이러한 부분 그래프를 신장 트리라고 부름
최소 신장 트리
간선의 비용(ex. 길이)을 최소한으로 하는 신장 트리
크루스칼 알고리즘
신장 트리를 찾는 대표적인 알고리즘
그리디 알고리즘의 일종
간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가짐(처음에 간선을 비용순으로 정렬하는 과정에서 가장 많은 시간 O(ElogE) 소요)
1. 간선 데이터를 비용이 적은 순(오름차순)으로 정렬
2. 간선을 비용이 적은 순(1.에서 정렬된 순서)으로 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
- 2-1) 사이클이 발생하지 않은 경우 -> 최소 신장 트리에 포함시킴
- 2-2) 사이클이 발생하는 경우 -> 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
- 정렬된 모든 간선에 대해 2번의 과정 반복
# 특정 원소가 속한 집합을 찾는 함수
def find_parent(parent, x):
# 부모 노드가 아니라면, 부모 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 부모 테이블 초기화
parent = [0] * (v+1)
# 부모 테이블상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수 초기화
edges = []
result = 0
# 모든 간선에 대한 정보 입력받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해 튜플에 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 정렬된 간선을 하나씩 확인하여
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
# 최소 신장 트리를 만드는 비용 출력
print(cost)위상 정렬
사이클이 없는 방향 그래프(DAG)의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 정렬하는 것
- DAG(Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 노드가 2개 이상이면 -> 위상 정렬의 해가 여러 개 존재
모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 -> 사이클이 존재(사이클에 포함된 원소는 큐에 들어가지 못함)
스택을 활용한 DFS로 위상 정렬을 수행할 수도 있음
진입차수와 진출차수
그래프 관련 알고리즘에서 자주 쓰이는 개념
진입차수(Indegree)
특정 노드로 들어오는 간선의 개수
진출차수(Outdegree)
특정 노드에서 나가는 간선의 개수
큐를 이용한 위상 정렬 알고리즘
시간 복잡도는 O(V+E)
1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 삽입
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복
- 2-1) 큐에서 노드를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거
- 2-2) 2-1 로 인해 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입
- 각 노드가 큐에 들어온 순서 = 해당 그래프를 위상 정렬한 결과
from collections import deque
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수(0으로 초기화)
indegree = [0] * (v+1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]
# 그래프의 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # A와 B 사이가 연결되어 있음(A에서 B로 이동 가능)
# 진입 차수 + 1
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v+1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수 - 1
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드가 있으면 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end=' ')
topology_sort()
Back-end Junior Developer