[선형대수] 선형방정식과 선형시스템

선형방정식

• 변수간의 관계가 직선/선형적인 일차함수식

• $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n = b$ 형태로 표현할 수 있다.

• $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix}, \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}$에 대해 $\mathbf{a}^T\mathbf{x} = b$의 행렬곱 형태로 표현할 수 있다.

위 선형방정식은 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}$, 즉 두 벡터의 내적과 동일하다.
행렬곱의 원소를 구하는 것과 내적은 동일한 연산이므로 당연한 이야기이다.

선형시스템

선형시스템은 $\mathbf{x}$를 해로 갖는 선형방정식들의 집합이다.
따라서 다음의 두 가지 성질을 가진다.

• 가산성
  $f(x) + f(y) = f(x+y)$

• 비례성
  $a*f(x) = f(a*x)$

또한 선형시스템은 항상 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$와 같은 행렬과 벡터의 곱으로 나타낼 수 있다.
예를 들어 보자.

$60x_1+5.5x_2+1*x_3 = 66$
$65x_1+5.0x_2+0*x_3 = 74$
$55x_1+6.0x_2+1*x_3 = 78$

위와 같은 선형연립방정식이 있다. 이는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$\begin{bmatrix} 60 & 5.5 & 1 \\ 65 & 5.0 & 0 \\ 55 & 6.0 & 1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 66 \\ 74 \\ 78 \end{bmatrix}$

항등행렬과 역행렬

항등행렬

• 대각성분이 모두 1인 정사각행렬

• $I_n \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 형태로 표기한다.

• 임의의 행렬 $A$와 곱하면 항상 $A$가 나온다.

역행렬

• 정사각행렬 $A$에 대해 $A^{-1}A = AA^{-1} = I_n$가 성립하는 $A^{-1}$를 역행렬이라 한다.

• 2차원 행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$에 대해 $A^{-1} = \frac{1}{(ad-bc)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ 이다.

선형방정식의 풀이

A가 임의의 n차원 정사각행렬일 때

1) $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$에 대해 $A^{-1}A\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
2) $I_n\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

따라서 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ 이다.

선형방정식의 해의 개수

1) 만약 $A^{-1}$가 존재한다면, 즉 판별식이 0이 아니라면 선형방정식의 해는 유일하다.
2) $A^{-1}$가 존재하지 않는다면, 즉 판별식이 0이라면 선형방정식의 해는 무수히 많거나 없다.

A가 임의의 m x n 직사각행렬일 때

$m$은 방정식의 수, $n$은 변수의 개수이다.

1) $m > n$ 이라면 일반적으로 해가 무수히 많다.
2) $m < n$ 이라면 일반적으로 해가 없다.