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상미분방정식 Ordinary Differential Equation (ODE)

상미분방정식(ODE)는 독립변수를 하나만 가지고 있으며, 하나 이상의 도함수를 갖는 미분방정식입니다. 즉 방정식에 미분이 포함됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

식 (1)과 같은 형태를 1계 미분방정식, 식 (2)와 같은 형태를 2계 미분방정식이라고 합니다. n계 미분방정식도 물론 존재합니다.

Explicit / Implicit form

ODE는 양형태(explicit form)와 음형태(implicit form) 두 가지로 표현할 수 있습니다.

explicit form은 다음과 같은 경우를 말합니다.

반대로 implicit form은 다음과 같은 경우를 말합니다.

표현 방식만 다를 뿐 같은 ODE를 의미하므로, 풀이 과정에는 전혀 영향이 없습니다. 예시를 들어보겠습니다.

식 (3)과 (4)는 동일한 ODE를 나타냅니다.

해 Solution

ODE의 해의 정의

함수 $h(x)$가 어떤 열린 구간 $a<x<b$에서 정의되고 미분가능하며, $y$와 $y'$를 각각 $h$와 $h'$로 대체했을 때 주어진 ODE가 항등식이 된다면, 함수

$y=h(x)$

를 구간 $a<x<b$에서 ODE의 해(solution)이라고 부른다.

정의가 복잡해보이지만 쉽게 말해서 그냥 대입했을 때 항등식을 만드는 함수가 ODE의 해라는 뜻입니다. 예를 들어서 식 (3)에서 $y=-{1\over x^4}$로 놓으면,

이고, 이를 식 (4)에 대입하면

의 항등식 꼴이 됩니다. 따라서 식 (3)의 해는

입니다.

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참고문헌

1. 공업수학 - Ordinary differential equation(상미분방정식)
2. [미분방정식] 1. 상미분방정식 소개 - Introduction to ODE
3. 미분방정식을 이용한 현상 모델링
4. 위키백과 - 상미분방정식