필자가 보는 책(Man Sik Min · Hyeong Chul Jeong · Hyejung Lee, 『CALCULUS』, 한티미디어)에는 The precise definition of a Limit 이 소개되어 있지 않기에, Stewart 선생님의 Calculus 를 보고 그 내용을 정리하려 한다.

0. 주의

 필자는 수포자이며, 수학을 전공하지도 않았다. 필자가 공부한 내용을 잊지 않고 환기하기 위해 정리한 글이므로 잘못된, 혹은 더 나아가 틀린 설명이 존재할 수 있다.

 따라서 이하의 내용은 어느정도 걸러듣고, 틀린 내용에 대해선 가감없이 댓글 작성 부탁드립니다.

1. Vague statement

필자가 읽는 Calculus 에는 이하와 같이 Limit existence 를 소개한다:

The number $L$ is the limit of the function $f(x)$ as $x$ approaches $c$ if, as the values of $x$ get arbitrarily close (but not equal) to $c$, the values of $f(x)$ approach (or equal) $L$.

여기에서 설명하는 arbitrarily close 는 엄밀한 정의가 아닌, 모호한 설명이므로 이를 수학적으로 풀어서 정의하려 한다.

2. How much closer?

$f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & \text{if }x \ne 3 \\ 6 & \text{if }x = 3 \end{cases}$

 직관적으로 봤을 때, $x$ 가 $3$ 에 가까워지면 $f(x)$ 역시 5 에 가까워지고, 따라서 $lim_{x \to 3}{f(x)} = 5$ 가 성립하게 된다는 것을 알 순 있다.

 그러나 $x$ 가 얼마나 $3$ 에 가까워져야 $f(x)$ 또한 $5$ 에 수렴하게 되는지 묻기는 쉽지가 않다.

 따라서 $x$ 와 $3$ 의 차이에 따른 $f(x)$ 의 변화를 살펴보려 한다.

- Distance from $x$ to $3$

$f(x)$ 와 $5$ 의 차가 $0.1$ 미만이 되기 위해선, $x$ 가 얼마나 $3$ 과 가까워야 하는가?

 먼저, $x$ 와 $3$ 의 차는 $|x - 3|$ 이고, $f(x)$ 와 $5$ 사이의 거리는 $|f(x) - 5|$ 로 표현할 수 있다. 따라서 위 문제는 아래와 같은 부등식의 형태로 표현할 수 있다:

$|f(x) - 5| < 0.1$ if $|x - 3| < \delta$ but $x \ne 3$

 그러므로 최상단의 문제는 위 $\delta$ 의 값을 찾으라는 것과 동일하다. 또한 $|x - 3| > 0$ 일때 $x \ne 3$ 이므로, 다시 아래와 같이 쓸 수 있다:

$|f(x) - 5| < 0.1$ if $0 < |x - 3| < \delta$

 다시 $f(x)$ 식을 전개해서 부등식을 풀면 아래와 같다:

$|f(x) - 5| = |(2x - 1) - 5| = |2x - 6| = 2|x - 3| < 2(0.05) = 0.01$

따라서 $\delta$ 의 값은 $0.05$ 임을 알 수 있다. 이러한 방식으로 $0.1$ 을 $0.01$, $0.001$ 로 바꾸어서 다음과 같이 $\delta$ 를 구할 수 있다:

$|f(x) - 5| < 0.01$ if $0 < |x - 3| < 0.005$
$|f(x) - 5| < 0.001$ if $0 < |x - 3| < 0.0005$

3. The Precise Definition of a Limit

 위에서 소개한 $0.1$, $0.01$, 그리고 $0.001$ 정도의 오차는 허용 가능 범위라 생각할 수 있지만, 이 역시 엄밀한 정의는 아니다.

 따라서 $x$ 가 $3$ 에 근사함에 따라 $5$ 가 $f(x)$ 의 엄밀한 극한이 된다는 것을 증명하기 위해선, 위에서 소개한 각각의 세 숫자 뿐만 아니라 그 어떠한 양수에 대해서도 위 부등식이 일관성 있게 성립해야 한다.

 만일 임의의 양수를 $\varepsilon$ 로 쓰면 아래와 같이 표현 가능하다:

$|f(x) - 5| < \varepsilon$ if $0 < |x - 3| < \delta = \frac{\varepsilon}{2}$

 위 수식은 $x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 $f(x)$ 역시 $5$ 에 근사한다는 것을 표현하는 엄밀한 방법이다. 왜냐하면...

1. 맨 처음 변수로 놓았던 $\varepsilon$ 는 어떠한 양수일 수 있다고 했고
2. $f(x)$ 와 $5$ 사이의 거리인 $\varepsilon$ 에 대한 $x$ 와 $3$ 사이의 거리를 $\varepsilon/2$ 으로 제한(그러나 $x \ne 3$) 했기 때문이다.

 또한 위 부등식을 풀어서 아래와 같이 쓸 수 있다:

if $3 - \delta < x < 3 + \delta$ $(x \ne 3)$ then $5 - \varepsilon < f(x) < 5 + \varepsilon$

 직접 그린 그림이라 개판이긴 하지만 위 수식을 설명하는데에는 아무런 지장이 없으리라 생각한다.

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위 내용을 정리해서 # 1. Vague Statement 에서 소개한 극한의 엄밀한 정의가 가능해진다. 아래는 Stewart 선생님의 Calculus 에서 소개한 정의이다:

- Precise Definition of a Limit

Let $f$ be a function defined on some open interval that contains the number $a$, expected possibly at $a$ itself. Then we say that the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $a$ is $L$. and we write...

          $\lim_{x \to a}{f(x)} = L$

if for every number $\varepsilon > 0$ there is a number $\delta > 0$ such that

    $0 < |x - a| <\delta$ then $|f(x) - L| < \varepsilon$

출처 (Reference)

[책] Stewart, James. Calculus: Early Transcentals, 9th Ed, p105-106.
[책] Man Sik Min · Hyeong Chul Jeong · Hyejung Lee, 『CALCULUS』, 한티미디어, p50.