Projective Geometry and Transformations of 3D

• $x\in \mathbb{P}^2=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1\end{bmatrix}$에서 $x\in \mathbb{P}^3=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ 1 \end{bmatrix}$가 되는 것과 같이 $\mathbb{P}^3$의 특성은 $\mathbb{P}^2$의 일반화라고 할 수 있다.
• 하지만, 2개의 line이 projective plane에서는 항상 만나지만 3-space에서는 만나지 않는 것과 같이 차원확장에 의한 추가적인 특성이 나타나기도 한다.

Points in $\mathbb{P}^3$

• 3-space에서의 point $X$는 4-vector의 homogeneous coordinates로 표현된다. $X_4=0$은 points at infinity를 의미한다.
  $X=(X_1, X_2, X_3, X_4)^T, X_4 \neq0$
• Inhomogeneous coordinate로는 $(X,Y,Z)^T$ of $\mathbb{R}^3$로 나타낼 수 있다.
  $X=X_1/X_4, Y=X_2/X_4, Z=X_3/X_4$

Projective Transformation of Points in $\mathbb{P}^3$

• $\mathbb{P}^3$에서의 projective transformation은 non-singular 4x4 matrix에 의한 linear transformation이다.
  $X'=HX$
• $H$는 15 DoF로 나머지 하나는 scaling factor이다.
• $\mathbb{P}^2$에서 mapping 된 line은 line을 유지하는 것과 마찬가지로collineation을 만족한다.

Planes in $\mathbb{P}^3$

• 3-space에서의 plane은 다음과 같이 쓸 수 있다.
  $a_1X+a_2Y+a_3Z=a_4=0$
• Homogeneous coordinate에서 표현하여 $X\longmapsto X_1/X_4, Y\longmapsto X_2/X_4, Z \longmapsto X_3/X_4$라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
  $a_1X_1+a_2X_2+a_3X_3+a_4X_4=0$ or $\mathbf{a}^TX=0$
  이는 $\mathbb{P}^2$에서 line에 대한 식 $\mathbf{l}^Tx=0$과 동일하다.
• Plane coefficient 세 개의 독립적인 비율 $\{a_1:a_2:a_3:a_4\}$만 고려하면 되기 때문에 3 DoF이며 $(a_1, a_2, a_3)^T$는 plane normal을 의미한다.
• $\mathbf{a}^TX=0$을 inhomogeneous로 표현하기 위해 다음과 같이 쓸 수 있다. 이 식에서 $d/||\mathbf{n}||$은 origin으로부터 plane까지의 거리를 의미한다.
  $\mathbf{n}.\tilde{X}+d=0$

Planes in $\mathbb{P}^3$: Join and Incidence Relations

• Plane은 collinear하지 않은 세 개의 점 혹은 incident하지 않은 하나의 line과 점으로 정의할 수 있다.
• 두 개의 서로 다른 plane은 하나의 line에서 교차한다.
• 세 개의 서로 다른 plane은 하나의 point에서 교차한다.

Three Points Define a Plane

• Plane $\pi$에 incident한 세 개의 points $X_i$가 있다 가정할 때, 각 pointsms $\pi X_i=0$ for $i=1,2,3$을 만족한다.
• Point들이 선형 독립일 때 3x4 matrix $[X_1,X_2,X_3]^T$는 rank 3을 가진다.
• Point들에 의해 정의되는 plane $\pi$는 1차원 (right) null-space로 유일하게 정의된다.
  
  -Matrix $[X_1,X_2,X_3]^T$의 rank가 2라면 null-space가 2차원이며 이는 points가 collinear하고 그 point들의 line을 축으로 아주 많은 plane들이 만들어질 수 있음을 의미한다.

Three Planes Define a Point

• 세 개의 plane의 교차점은 3x4 matrix의 (right) null-space로 계산된다.

Parametrized Points on a Plane

• Plane $\pi$ 상의 points $X$는 $X=M\mathbf{x}$로 나타낼 수 있다. $M$이 4x3 matrix로 4x1의 각 column vector를 $m_1, m_2, m_3$라 할 때 $X$는 linear combination $X=m_1 \mathbf{x_1}+m_2 \mathbf{x_2}+m_3 \mathbf{x_3}$라 할 수 있다.
• 이 때 $M$은 plane $\pi$ 내의 모든 sub-space를 정의한다.
• 4x3 matrix $M$의 columns는 $\pi^T$의 rank 3 null-space를 만든다. $\pi ^TM=0$
• $\pi=(a,b,c,d)^T$이며 $a$는 0이 아닐 때 $M$은 유일하지 않으며 다음과 같이 쓸 수 있다.
  

Lines in $\mathbb{P}^3$

• Line은 두 points의 조합 혹은 두 planes의 교차점으로 정의된다.
• 3-space에서 line은 두 plane의 두 개의 교차점으로 나타낼 수 있으며 각 교차점은 2DoF($x,y$)이므로 line은 4DoF를 가진다.
• 3-space의 line을 homogeneous 5-vector로 나타내는 것은 어색하기 때문에 2개의 대안으로 나타낸다.

Lines in $\mathbb{P}^3$: Null-Space and Span Representation

• $A,B$가 두 non-coincident space의 points라고 가정하자.
• 이 두 포인트를 연결하는 Linedms 2x4 matrix로 나타낼 수 있으며 이는 6DoF로 overparameterized 되어있다.
• $W^T$의 span은 line 상에서 수많은 point들인 $\lambda A+ \mu B$가 된다.
• $W$의 2차원 right null space의 span은 line을 축으로 하는 수많은 plane들이 된다.
  
• Line 상의 다른 points $A'^T, B'^T$는 $W$와 동일한 span을 가지는 matrix $W$를 만든다.
• 따라서, representation의 정의는 특정 point들에 독립적이다.
  
• $P,Q$가 null-space의 basis라 가정할 때, $WP=0$이고 그 결과 $A^TP=B^TP=0$이 된다.
• 따라서, $P$는 $A,B$를 포함하는 plane이 되며 $Q$ 또한 두 points를 포함하는 또 다른 plane이다.
• $A,B$가 모두 planes $P,Q$ 상에 있기 때문에 $W$로 정의되는 line은 plane intersection이 된다.
• Line을 축으로 삼는 수많은 plane들이 span $\lambda P + \mu Q$로 주어진다.
  
• Line의 dual representation은 두 plane $P,Q$로 구성되는 2x4 matrix $W^*$의 span으로 표현된다.
• $W^{*T}$의 span은 $\lambda P + \mu Q$로 표현되는 수많은 plane들이고 $W^*$의 2차원 null space는 line 상의 수많은 point들이므로 두 representation은 다음 식으로 연관시킬 수 있다.
  $W^*W^T = WW^{*T}=0_{2 \times 2}$
  
• Point $X$와 line $W$의 join으로 정의되는 plane $\pi$는 $M$의 null space로부터 얻어진다.
• $M$의 null space가 2차원이라면 $X$는 $W$ 위에 있으며 그렇지 않으면 $M\pi = 0$이다.
  
• Line $W^*$와 plane $\pi$의 교차점으로 정의되는 point $X$는 $M$의 null space로부터 얻어진다.
• $M$의 null space가 2차원이라면 line $W$는 $\pi$ 상에 있으며 그렇지 않으면 $MX=0$이다.

Lines in $\mathbb{P}^3: Plucker Line Coordinates

• Plucker line coordinates는 0이 아닌 6개의 값으로 구성된 벡터로 첫 3개의 elements는 $A$와 $B$ 사이의 direction vector, 뒤 3개의 elements는 $A,B$의 moment vector이다.
  $d=B-A, m=A \times B$
  

• 두 line $\mathcal{L}, \hat{\mathcal{L}}$이 각각 points $A,B$와 $\hat{A}, \hat{B}$의 join이라고 가정하자.

• Lines는 4개의 points가 동일한 평면에 존재할 때만 교차하며 필요충분 조건은 다음과 같다.
  (proof) $A,B,\hat{A},\hat{B}$가 동일 평면에 존재할 때 $A,B$의 direction vector와 $\hat{A}, \hat{B}$의 moment vector는 수직 관계를 가진다.
  

• 동일하게, 두 lines $\mathcal{L}, \hat{\mathcal{L}}$이 각각 planes $P,Q$와 $\hat{P}, \hat{Q}$의 교차선이라 할 때 lines가 교차한다면 다음 조건을 만족한다.
  $(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}}) = det[P,Q,\hat{P}, \hat{Q}]=0$

• 두 planes $P,Q$의 교차선이 $\mathcal{L}$이고 $\hat{\mathcal{L}}$이 두 points $A,B$의 join이라면 lines가 교차할때 다음을 만족한다.
  $(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}}) =(P^TA)(Q^TB)-(Q^TA)(P^TB)=0$

Quadrics and Dual Quadrics

• Quadric은 $\mathbb{P}^3$에서 다음 식에 의해 정의되는 surface이다. $Q$는 4x4 matrix이다.
  $X^TQX=0$
• Quadric의 많은 특성들은 conics의 특성과 직결된다.

  1. Quadric은 4x4 symmetric matrix로 scale을 제외한 9DoF를 가진다.
  2. 9개의 point들에 의해 quadric이 정의된다.
  3. Matrix $Q$가 singular라면 quadric은 더 적은 point들로 정의된다.
  4. Plane $\pi$와 quadric $Q$의 intersection은 conic $C$이다.
     

Reference

• https://www.youtube.com/watch?v=wpqTPTQcNAM&list=PLxg0CGqViygP47ERvqHw_v7FVnUovJeaz&index=4