3-Dimensional Euclidean Space

• Euclidean space 내의 모든 point $p \in \mathbb{E}^3$는 three cartesian coordinates를 가지는 $\mathbb{R}^3$ 내의 point와 동일하다.
• Euclidean space에서 vector $v$는 두 개의 point $p,q \in \mathbb{E}^3$에 의해 결정되며 방향성을 가진다. $p$에서 $q$를 향할 경우 $v = \vec{pq}$로 나타낸다.
• $p$의 좌표가 $X$, $q$의 좌표가 $Y$일 때 $v$는 $Y-X$이다. 이와 같이 base point가 명시되는 vector를 bound vector라 한다.
• Free vector는 base point에 의존하지 않는 벡터로 $Y-X = Y'-X'$로 동일한 free vector이다. 이 둘은 $\mathbb{E}^3$에서 평행하다.
• 우리는 cartesian frame의 origin이 base point라고 가정하며 $(X=0)$ free vector의 조합은 linear vector space를 형성한다.
  

Inner and Outer Products in $\mathbb{E}^3$

• 두 벡터 $u,v$의 inner product는 다음과 같다.
  

• Inner product는 거리나 사이각을 measure 하는데 활용할 수 있다.
  

• 두 벡터의 cross(outer) product는 다음과 같으며 그 결과는 두 벡터에 orthogonal한 벡터가 된다. 두 벡터의 순서를 바꾸면 부호가 바뀐다.
  

• Cross product는 $\mathbb{R}^3$ to $\mathbb{R}^3$의 linear mapping으로 skw-symmetric matrix($\hat{u}^T=-\hat{u}$로 표현할 수 있다.
  $u \times v = \hat{u}v$
  

• Standard cartesian frame에서 X축과 Y축의 cross product는 Z축이 된다.(Right-hand rule)
  

Coordinate Frames

• Rigid object는 right-handed orthonormal frame과 연관되기 때문에 object coordinate frame 혹은 body coordinate frame이라 칭한다.
• 또한, rigid-body motion은 어떠한 reference frame에서의 motion에 의해 명시되는데 이를 world frame이라 한다.
• Camera frame $F_C: (x,y,z)$과 world reference frame $F_W: (X,Y,Z)$를 예로 들면 camera의 configuration은 $F_W$와 $F_C$의 원점 사이의 관계인 translation vector $T$와 좌표축 간의 relative orientation $R$로 결정된다.
  

Rigid-body Motion

• Rigid-body motion(transformation)은 point들 간의 거리를 유지한다는 제약 조건을 가진 mapping function을 의미한다.
• $v=Y-X$일 때 mapping 후 vector는 다른 방향을 가지지만 거리는 유지한다.
  

Euclidean Transformation

• 거리를 유지하는 mapping을 euclidean transformation이라 하며 $E(3)$으로 표현한다.

• 하지만, 두 점의 거리를 유지한다는 것은 rigid object moving을 충분히 표현하지 못한다.(거리는 유지하지만 phisically realizable한 경우->아래 예시는 rule of thumb을 위반한다.)
  

• 따라서, rigid-body motion은 거리와 orientation을 모두 유지해야 한다.

• 이는 norm of vector(distance)와 cross product(orientation)을 유지한다고 할 수 있다.

• Rigid-body motion에 의한 transformation을 special euclidean transformation이라 한다.($SE(3)$)

• Inner product $<.,.>$는 polarization identity에 의해 norm $||.|||$으로 표현할 수 있다.

• 따라서, $||u+v||=||g_*(u)+g_*(v)||$이기 때문에 rigid-body motion $g$에 대해 $<u,v>=<g_*(u),g_*(v)>$가 된다. 이는 두 벡터의 사이각이 변환 이후에도 유지됨을 의미한다.

• 위 특성들에 의해 rigid-body motion은 triple product(volume) 또한 유지한다.
  

Orthogonal Matrix Representation of Rotations

• Fixed point $O \in \mathbb{E}^3$에 대한 rigid object rotating이 있을 때 $F_C$의 $F_W$에 대한 configuration(orientation)은 세 개의 orthonormal vectors에 의해 결정된다.
• $r_1, r_2, r_3$는 unit vector로 $C$ frame에서의 주축 $x,y,z$를 의미한다.
• Rotation은 세 벡터로 구성된 3x3 matrix로 나타낼 수 있다.
  $R_{wc}=[r_1,r_2,r_3]\in \mathbb{R}^{3\times 3}$
• $r_1, r_2,r_3$는 orthonormal frame을 형성하기 때문에 $R_{wc}R_{wc}^T=R_{wc}^TR_{wc}=I$가 되고 따라서 rotation matrix는 orthogonal matrix이다.
  
• $R_{wc}^{-1}=R_{wc}^T$이며 $r_1,r_2,r_3$가 right-handed frame이기 때문에 det($R_{wc}$)=1이다.
• Special orthogonal matrices의 space는 다음과 같이 $SO(3)$로 나타낼 수 있으며 rotation matrices라 부른다.
  

Euler Angles to Rotation Matrix

• Yaw angle $\gamma$는 z축, pitch angle $\beta$는 y축, roll angle $\alpha$는 x축 방향으로의 회전을 의미한다.
• 각 축에 대해 회전할 때 나머지 2개의 축이 바뀌는 것을 볼 수 있으며 따라서 기준 축 column은 그대로 두고 나머지 축 column이 바뀌는 matrix를 가진다.
• Tait-Bryan angles는 z-y'-x'' 순서의 rotation을 의미한다.
  

Rigid-body motion and its Representations

• Object 상의 point $p$는 $F_w$에서 vector $X_w$로 나타낼 수 있다.
• $X_w$는 $F_c$로의 translation $T_{wc} \in \mathbb{R}^3$과 $F_w$에서의 $X_c$의 합이 된다.
• $X_c$는 $F_c$에서의 point $p$이기 때문에 $F_w$에서는 $R_{wc}X_c$로 나타낼 수 있다.
• $X_w = R_{wc}X_c+T_{wc}$

Homogeneous Representation

• $X_w = R_{wc}X_c+T_{wc}$는 linear form으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
• 따라서 $g$는 homogeneous representation으로 표현된다.
  
• 모든 $g_1, g_2 \in SE(3)$에 대해 $g_1g_2, g^{-1}$은 닫혀있다.
  

Composition of Rigid-body Motions

• 3개의 camera frame에 대해서 각각의 $g$가 존재한다고 할 때 $X_2=g_{21}X_1, X_3=g_{32}X_2, X_3=g_{32}X_1$이며 composition rule에 의해 $g_{32}g_{21}=g_{32}$가 된다.

• 또한, $g_{21}g_{12}=g_{22}=I$이므로 inverse rule $g_{21}^{-1}=g_{12}$도 정의된다.

• General하게 표현하면 아래와 같다.
  

Reference

• https://www.youtube.com/watch?v=p05akAOSrUA&t=2419s