이산/연속 확률 변수 종류와 정의 특징을 알아보자

1) 이산형 확률변수

베르누이 확률분포

• 결과가 2개만 나오는 경우(ex: 동전 던지기, 시험의 합격/불합격 등)

이항분포

• 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 k번 성공할 확률
  

• 성공할 확률 p 0이나 1에 가깝지 않고 n이 충분히 크면 이항분포는 정규분포에 가까워 진다

기하분포

• 성공확률이 p인 베르누이 시행에서 첫번째 성공이 있기까지 x번 실패할 확률

다항분포

• 이항분포를 확장한 것으로 세가지 이상의 결과를 가지는 반복 시행에서 발생하는 확률 분포

포아송분포

• 시간과 공간 내에서 발생하는 사건의 발생횟수에 대한 확률분포

• 응용
  - 책에 오타가 5page당 10개씩 나온다고 할 때, 한 페이지에 오타가 3개 나올 확률
  - 어떤 시간 동안 톨게이트를 통과하는 차량의 수

• 정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값을 $\lambda$ 라고 했을 때, 그 사건이 $k$ 회 일어날 확률은 다음과 같다.

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2) 연속형 확률변수

가능한 값이 실수의 어느 특정구간 전체에 해당하는 확률 변수
확률 밀도 함수를 이용하여 분포를 표현할 수 있는 확률분포

확률 밀도 함수 $f(x)$는 다음 두 조건을 만족하여야 한다.

• 모든 실수값 $x$에 대해 $f(x) >= 0$
• 

정규분포

• 평균이 $\mu$이고, 표준편차가 $\sigma$인 $x$의 확률 밀도 함수

• 표준편차가 클 경우 퍼져보이는 그래프가 나타난다.

• 정규분포는 2개의 매개 변수 평균 $\mu$ 과 표준편차 $\sigma$ 에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 $N(\mu,\sigma^{2})$로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 $N(0,1)$을 표준 정규 분포(standard normal distribution)라고 한다.

• 정규 분포 밀도 함수에서 $Z={X-\mu \over \sigma}$를 통해 X(원점수)를 Z(Z점수)로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다.

붉은 색: 표준정규분포 좌우가 대칭

왜도

• $m > 0$ : 오른쪽으로 긴 꼬리를 갖는 분포 (위 녹색 분포)
• $m = 0$ : 좌우 대칭인 분포
• $m < 0$ : 왼쪽으로 긴 꼬리를 갖는 분포

첨도

• $m > 0 $ : 표준 정규 분포 보다 더 뾰족함 위 파란 분포
• $m = 0 $ : 표준 정규 분포와 유사함
• $m < 0 $ : 표준 정규 분포보다 덜 뾰족함 (위 노란색 분포)

지수분포

• 어떤 사건이 발생할 때까지 경과 시간에 대한 연속 확률 분포

• ex) 콜센터에 전화가 걸려올 때까지의 시간, 전자레인지의 수명시간

• 

t-분포

• $\bar x$와 관련

• 표준정규분포와 같이 평균이 0을 중심으로 좌우가 동일한 분포를 따름
  하지만 정규분포보다 더 퍼져있고 자유도가 커질수록 정규분포에 가까워 진다.

$X^2$-분포

• 모평균과 모분산이 알려지지 않은 모집단의 모분산에 대한 가설 검정에 사용되는 분포

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F-분포

• 두 집단간 분산의 동일성 검정에 사용되는 검정 통계량의 분포

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