서로소 집합
서로소 집합이란?
서로소 집합(Disjoint Sets)란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.
서로소 집합 자료 구조
서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.
서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기 자료구조라고도 불린다.
합집합(Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
찾기(Find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
- 합집합 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
1) A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
2) A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. - 모든 합집합 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다.
서로소 집합 동작 과정
처리할 연산 : Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
[초기 단계] 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화한다.
[step 1] 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾는다.
현재 루트 노드는 1과 4이므로 더 큰 번호인 루트 노드 4의 부모를 1로 설정한다.
[step 2] 노드 2과 노드 3의 루트 노드를 찾는다.
더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 3의 부모를 2로 설정한다.
[step 3] 노드 2과 노드 4의 루트 노드를 찾는다.
더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정한다.
[step 4] 노드 5과 노드 6의 루트 노드를 찾는다.
더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 6의 부모를 5로 설정한다.
연결성을 통해 몇 개의 집합이 있는지 쉽게 파악할 수 있다.
서로소 집합 자료구조 구현
기본적인 구현 방법
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
# 큰 쪽이 작은 쪽을 루트 노트로 사용한다.
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')기본적인 구현 방법의 문제점
- 합집합 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기 함수가 비효율적으로 동작한다.
- 최악의 경우, 찾기 함수가 모든 노드를 다 확인하므로 O(V)가 된다.
ex) {1, 2, 3, 4, 5}
처리할 연산 : Union(4, 5), Union(3, 4), Union(2, 3), Union(1, 2)
[step 1] Union(4, 5)
노드 : 1 2 3 4 5
부모 : 1 2 3 4 4
[step 2] Union(3, 4)
노드 : 1 2 3 4 5
부모 : 1 2 3 3 4
[step 3] Union(2, 3)
노드 : 1 2 3 4 5
부모 : 1 2 2 3 4
[step 4] Union(1, 2)
노드 : 1 2 3 4 5
부모 : 1 1 2 3 4
경로 압축
찾기 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축을 할 수 있다.
찾기 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]모든 합집합 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기 함수를 수행하면
다음과 같이 부모 테이블이 갱신된다.
노드 : 1 2 3 4 5
부모 : 1 1 1 1 1
경로 압축을 이용한 구현
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')서로소 집합을 활용한 사이클 판별
서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클 판별에 사용할 수 있다.
(방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.)
사이클 판별 알고리즘
- 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
1) 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합 연산을 수행한다.
2) 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다. - 그래프의 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.
서로소 집합을 활용한 사이클 판별 동작 과정
[초기 단계] 모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정한다.
[step 1] 간선 (1, 2)를 확인하여 더 큰 번호인 노드 2의 부모 노드를 1로 변경한다.
[step 2] 간선 (1, 3)를 확인하여 더 큰 번호인 노드 3의 부모 노드를 1로 변경한다.
[step 3] 간선 (2, 3)을 확인하였는데 이미 노드 2, 노드 3의 루트 노드가
모두 1이므로 사이클이 발생했음을 알 수 있다.
서로소 집합을 활용한 사이클 판별 구현
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클이 발생했습니다.")
else:
print("사이클이 발생하지 않았습니다.")신장 트리
신장 트리란?
그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프이다.
최소 신장 트리
최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때는 어떻게 해야 할까??
크루스칼 알고리즘
대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이다. (그리디 알고리즘)
- 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순 정렬한다.
- 간선을 하나씩 확인하여 현재의 간선이 사이클을 발생하는지 확인한다.
1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함한다.
2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다. - 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.
크루스칼 알고리즘 동작 과정
[초기 단계] 그래프의 모든 간선 정보에 대하여 오름차순 정렬을 수행한다.
[step 1] 아직 처리하지 않은 간선 중 가장 짧은 간선인 (3, 4)를 처리한다.
[step 2] 아직 처리하지 않은 간선 중 가장 짧은 간선인 (4, 7)를 처리한다.
[step 3] 아직 처리하지 않은 간선 중 가장 짧은 간선인 (4, 6)를 처리한다.
[step 4] 아직 처리하지 않은 간선 중 가장 짧은 간선인 (6, 7)를 처리한다.
이때, 이 간선을 포함하면 사이클이 발생하므로 무시한다.
[step 5] 아직 처리하지 않은 간선 중 가장 짧은 간선인 (1, 2)를 처리한다.
[step 6] 아직 처리하지 않은 간선 중 가장 짧은 간선인 (2, 6)를 처리한다.
[step 7] 아직 처리하지 않은 간선 중 가장 짧은 간선인 (2, 3)를 처리한다.
이때, 이 간선을 포함하면 사이클이 발생하므로 무시한다.
[step 8] 아직 처리하지 않은 간선 중 가장 짧은 간선인 (5, 6)를 처리한다.
[step 9] 아직 처리하지 않은 간선 중 가장 짧은 간선인 (1, 5)를 처리한다.
이때, 이 간선을 포함하면 사이클이 발생하므로 무시한다.
[최소 신장 트리 결과]
최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용을 모두 더하면 최종 비용에 해당한다.
크루스칼 알고리즘 구현
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
# 같은 집합에 포함되지 않은 경우!
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.
위상 정렬
위상 정렬이란?
사이클이 없는 방향 그래프(DAG)의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록
순서대로 나열하는 것을 의미한다.
진입차수와 진출차수
- 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
- 진출차수(Outdegree) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
위상 정렬 알고리즘
큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다.
- 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
- 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.
위상 정렬 동작 과정
[초기 단계] 진입차수가 0인 모드 노드를 큐에 넣는다.
처음에 노드 1이 큐에 삽입된다.
[step 1] 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤, 노드 1에서 나가는 간선을 제거한다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (노드 2, 노드 5)
[step 2] 큐에서 노드 2를 꺼낸 뒤, 노드 2에서 나가는 간선을 제거한다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (노드 3)
[step 3] 큐에서 노드 5를 꺼낸 뒤, 노드 5에서 나가는 간선을 제거한다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (노드 6)
[step 4] 큐에서 노드 3를 꺼낸 뒤, 노드 3에서 나가는 간선을 제거한다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.
[step 5] 큐에서 노드 6를 꺼낸 뒤, 노드 6에서 나가는 간선을 제거한다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (노드 4)
[step 6] 큐에서 노드 4를 꺼낸 뒤, 노드 4에서 나가는 간선을 제거한다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다. (노드 7)
[step 7] 큐에서 노드 7를 꺼낸 뒤, 노드 7에서 나가는 간선을 제거한다.
새롭게 진입차수가 0이 된 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.
[위상 정렬 결과]
큐에 삽입된 전체 노드 순서 : 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7
(큐 : FIFO)
위상 정렬의 특징
- 위상 정렬은 DAG에서만 수행할 수 있다.
- 위상 정렬에는 여러 가지 답이 존재할 수 있다.
(큐에 원소가 2개 이상 동시에 들어 갈 수 있기 때문에) - 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
(사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어갈 수 없기 때문에)
위상 정렬 알고리즘 구현 (큐)
from collections import deque
# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
# 진입 차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end=' ')
topology_sort()7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4
1 2 5 3 6 4 7
위상 정렬을 위해 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 처리하므로
시간 복잡도는 O(V + E)이다.
관련 문제
1. 팀 결성
학교에서 학생들에게 0번부터 N번까지의 번호를 부여했다.
처음에는 모든 학생이 서로 다른 팀으로 구분되어, 총 N + 1 개의 팀이 존재한다.
이때 선생님은 '팀 합치기'연산과 '같은 팀 여부 확인'연산을 사용할 수 있다.
'팀 합치기' 연산은 두 팀을 합치는 연산이다.
'같은 팀 여부 확인' 연산은 두 학생이 같은 팀에 속하는지를 확인하는 연산이다.
선생님이 M개의 연산을 수행할 수 있을 때,
'같은 팀 여부 확인'연산에 대한 연산 결과를 출력하는 프로그램을 작성하시오.
0 a b는 a와 b를 합치는 연산이고 1 a b는 a와 b가 같은 팀인지 확인하는 연산이다.
(조건 : 1 <= N, M <= 100,000 / 1 <= a, b <= N)
입력 예시
7 8
0 1 3
1 1 7
0 7 6
1 7 1
0 3 7
0 4 2
0 1 1
1 1 1
출력 예시
NO
NO
YES
풀이)
문제에서 말 그래도 팀 합치기(Union)과 같은 팀 여부 확인을 구현하라 하였으므로 서로소 집합을 구현하면 된다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
parent = [0] * (n + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, n + 1):
parent[i] = i
answers = []
for _ in range(m):
t, a, b = map(int, input().split())
# 합치기 연산
if t == 0:
union_parent(parent, a, b)
# 팀 확인 연산
else:
# 같은 팀이면
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
answers.append("YES")
# 다른 팀이면
else:
answers.append("NO")
# 정답 출력
for answer in answers:
print(answer)
2. 도시 분할 계획
마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다.
길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다.
그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.
임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재한다.
마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다.
마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.
분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다.
그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다.
위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다.
이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.
첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다.
2 <= N <= 100,000, 1 <= M <= 1,000,000
A B C 가 주어지는데 A와 B를을 연결하는 유지비가 C (1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.
입력 예시
7 12
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 5 2
3 4 4
7 3 6
5 1 5
1 6 2
6 4 1
6 5 3
4 5 3
6 7 4
출력 예시
8
풀이)
최소 신장 트리를 이용하여 최소 최종 비용을 구하면 된다.
최소 신장 트리를 통해 마을 모두 연결한 후,
마지막으로 가장 비용이 큰 간선을 삭제하여 마을 분리하면 된다.
입력이 많기 때문에 시간을 아끼기 위해서 아래 input을 사용하자!
import sys
input = sys.stdin.readline import sys
input = sys.stdin.readline
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
parent = [0] * (n + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, n + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((c, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 최소 신장 트리의 간선들
final_edges = []
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
c, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
# 같은 집합에 포함되지 않은 경우!
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
final_edges.append(c)
result += c
# 최소 신장 트리에서 가장 큰 비용의 간선을 제거 => 마을을 분리한다.
print(result - max(final_edges))참고 자료
이코테 2021 강의 8편
이것이 코딩 테스트다 교재
