최단 경로 알고리즘
최단 경로 알고리즘이란?
가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
- 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
- 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
그래프에서 각 지점은 노드로, 연결선은 간선으로 표현한다.
다익스트라 알고리즘
다익스트라 알고리즘이란?
특정한 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택하므로 그리디 알고리즘으로 분류된다.
다익스트라 동작 예시
특징
- 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택한다.
- 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 바뀌지 않는다.
- 다익스트라 알고리즘 수행 후 테이블에 각 노드의 최단 거리 정보가 저장된다.
첫 번째 구현 방법
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
따라서 시간 복잡도는 O(V^2)이라고 할 수 있다.
일반적으로 노드의 개수가 5,000개 이하라면 1초 이내에 해결이 가능한다.
두 번째 구현 방법 (개선된 구현 방법)
우선순위 큐(Priority Queue)
우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
스택 : 가장 나중에 삽입된 데이터 (FIFO)
큐 : 가장 먼저 삽입된 데이터 (FILO)
우선순위 큐 : 가장 우선순위가 높은 데이터
힙(Heap)
우선순위 큐를 구현하기 위해서 사용되는 자료구조
최소 힙과 최대 힙이 존재한다.
리스트의 삽입 시간 : O(1)
힙의 삽입 시간 : O(logN)
리스트의 삭제 시간 : O(N)
힙의 삭제 시간 : O(logN)
아래는 표준 라이브러리에서 사용하는 최소 힙을 이용한 정렬이다.
O(NlogN)을 보장하는 정렬 알고리즘이다.
import heapq
# 오름차순 힙 정렬
def heapqsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
# 최소 힙이므로 pop할 때마다 최솟값이 반환되어 result에 저장된다.
result.append(heapq.heappop(h))
return result
result = heapqsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
힙 라이브러리에서는 최대 힙을 지원하지 않기 때문에
아래처럼 내림차순 정렬을 구현할 수 있다.
import heapq
# 내림차순 힙 정렬
def heapqsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입 (음수로)
for value in iterable:
heapq.heappush(h, -value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
# 최소 힙이므로 pop할 때마다 최솟값이 반환되어 result에 저장된다.
# 음수가 붙어서 힙에 삽입되었기 때문에 다시 음수를 곱하면 최대 힙이 된다.
result.append(-heapq.heappop(h))
return result
result = heapqsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
개선된 구현 방법
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를
선택하기 위해서 힙 자료구조를 이용하면 더 효율적으로 구현이 가능하다.
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
# a = 출발 노드, b = 도착 노드, c = 거리(비용)
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q) # dist : 거리, now : 도착 노드 번호
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1] # 거리 + 인접한 노드의 거리
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])힙 자료구조를 이용한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)이다.
플로이드 워셜 알고리즘
플로이드 워셜 알고리즘이란?
모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다. (다이나믹 프로그래밍)
시간 복잡도가 O(N^3)이므로 노드가 적을 때 효과적이다.
각 단계마다 특정한 노드 K를 거쳐가는 경우를 확인한다.
a에서 b로 가는 최단 거리보다 a->k->b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.
점화식 : Dab = min(Dab, Dak + Dkb)
플로이드 워셜 동작 예시
[step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려해서 테이블을 갱신한다.
[step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려해서 테이블을 갱신한다.
[step 3] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려해서 테이블을 갱신한다.
[step 4] 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려해서 테이블을 갱신한다.
구현
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == 1e9:
print("INFINITY", end=" ")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(graph[a][b], end=" ")
print()최단 경로 문제
1. 전보
X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면
도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다.
예를 들어, X에서 Y로 향하는 통로는 있지만 Y에서 X로 향하는 통로가 없다면
Y는 X로 메세지를 보낼 수 없는 것이다.
어느 날 C라는 도시에서 위급한 메세지를 최대한 많은 도시에 보내고자 한다.
각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때
도시 C에서 보낸 메세지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개이며
도시들이 모두 메세지를 받는 데 까지 걸리는 시간은 얼마인가?
도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메세지를 보내고자 하는 도시 C
(조건 : 1 <= N <= 30,000 / 1 <= M <= 200,000 / 1 <= C <= N / 1초)
도시 X에서 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며 시간은 Z라는 의미
(조건 : 1 <= X, Y <= N / 1 <= Z <= 1,000)
풀이)
노드의 개수가 30,000개로 O(N^3)인 플로이드 워셜 알고리즘은 사용할 수 없다.
또한 우선순위 큐를 이용하지 않은 다익스트라 알고리즘의 경우에도
O(N^2) = 약 9억번의 연산으로 45초의 시간이 걸린다. (1초 = 2000만번)
따라서 우선순위 큐를 이용한 다익스트라 알고리즘을 사용해야 한다.
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, c = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
# x = 출발 노드, y = 도착 노드, z = 거리(비용)
x, y, z = map(int, input().split())
# x번 노드에서 y번 노드로 가는 비용이 z라는 의미
graph[x].append((y, z))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[c] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q) # dist : 거리, now : 도착 노드 번호
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1] # 거리 + 인접한 노드의 거리
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(c)
count = 0 # 도달할 수 있는 노드의 개수
time = 0 # 가장 오래 걸리는 노드의 최단 거리
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] != INF:
count += 1
time = max(time, distance[i])
# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, time)3 2 1
1 2 4
1 3 2
2 4
2. 미래 도시
1번부터 N번까지의 회사가 존재하고 특정 회사끼리는 서로 연결되어 있다.
또한 연결된 2개의 회사는 양방향 이동이 가능하고 정확히 1시간동안 이동한다.
A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤 X번 회사로 가는 것이 목표다.
이때, A의 최소 이동시간을 계산하라.
만약 도달 할 수 없다고 판단되면 -1을 출력하라.
(조건 : 1 <= N, M <= 100 / 1 <= K <= 100 / 1초)
풀이)
N의 개수가 100개이고 A -> K + K -> X의 최단거리를 구해야 하므로
모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산하는
플로이드 워셜 알고리즘을 사용하는 것이 좋다.
이때 1의 시간이 비용이고 양방향 이동이 가능하다고 했으므로
인접 리스트를 만들 때 고려해서 구현해야 한다.
1 -> K -> X이므로 graph[1][k] + graph[k][x]이다.
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b = map(int, input().split())
# 양방향 그래프이므로
graph[a][b] = 1
graph[b][a] = 1
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# x : 목적지, k : 경유지
x, k = map(int, input().split())
# 둘 중 하나라도 도달 할 수 없으면 -1
if graphgraph[1][k] == INF or graph[k][x] == INF:
print(-1)
# 1 -> k -> x의 최단거리
else:
print(graph[1][k] + graph[k][x])5 7
1 2
1 3
1 4
2 4
3 4
3 5
4 5
4 5
3
다익스트라 알고리즘을 이용해서 1에서 K까지의 시간와 K에서 X까지의 시간을
두 번에 걸쳐서 구한 후 더하는 방법도 가능하다.
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력
n, m = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
# x = 출발 노드, y = 도착 노드
x, y = map(int, input().split())
# x번 노드에서 y번 노드로 가는 비용이 z라는 의미
# 양방향 그래프이므로
graph[x].append((y, 1))
graph[y].append((x, 1))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[1] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q) # dist : 거리, now : 도착 노드 번호
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1] # 거리 + 인접한 노드의 거리
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
x, k = map(int, input().split())
# 시작점에서의 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(1)
distance_k = distance[k]
# 경유지에서의 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(k)
distance_x = distance[x]
# 1 -> k -> x까지의 최단 거리 계산
print(distance_k + distance_x)
참고 자료
이코테 2021 강의 7편
이것이 코딩 테스트다 교재
