문제
n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다. 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.
모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 도시의 개수 n이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m이 주어진다. 그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다. 먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다. 버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다. 시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.
시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.
출력
n개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다. 만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.
예제 입력 1
5
14
1 2 2
1 3 3
1 4 1
1 5 10
2 4 2
3 4 1
3 5 1
4 5 3
3 5 10
3 1 8
1 4 2
5 1 7
3 4 2
5 2 4
예제 출력 1
0 2 3 1 4
12 0 15 2 5
8 5 0 1 1
10 7 13 0 3
7 4 10 6 0
풀이
처음엔 가능한 모 (시작노드-도착노드) 쌍에 대해 가능한 모든 경로를 탐색한 후, 최소값을 구하는 식으로 풀었습니다.
그래서 가능한 모든 경로를 탐색하기 위해 (시작노드, 도착노드) 별로 DFS 를 돌렸다.
DFS 방식 풀이
from collections import deque
import sys
input = sys.stdin.readline
n = int(input())
m = int(input())
# 0번째 원소(배열)와, 각 배열의 0번째 인덱스는 무시
graph = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
if graph[a][b] != 0:
graph[a][b] = min(graph[a][b], c)
else:
graph[a][b] = c
ans = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]
def dfs(start, goal, cur, visited, cost_sum):
# 현재 위치가 목적지인 경우 -> 최소의 비용을 저장
if cur == goal:
if ans[start][goal] != 0:
ans[start][goal] = min(ans[start][goal], cost_sum)
else:
ans[start][goal] = cost_sum
# 현재 위치가 목적지가 아닌 경우
for next_node in graph[cur]:
if graph[cur][next_node] != 0 and visited[next_node] == 0:
# 방문하지 않은 노드에 대해 dfs 탐색
new_visited = visited[:] # 방문 리스트 복제
new_visited[next_node] = 1 # next_node 방문 처리
dfs(start, goal, next_node, new_visited, cost_sum + graph[cur][next_node])
for i in range(1,n+1):
for j in range(1, n+1):
if i != j:
dfs(i, j, i, [0 for _ in range(n+1)], 0)
for sub_arr in ans:
print(' '.join(map(str, sub_arr[1:])))그러나 이 방식을 사용하니 하니 시간 초과가 발생했다. 모든 경로에 대해서 끝까지 다 탐색하여 최솟값을 갱신하기 때문이었습니다. 이렇게 하면 최단 경로가 아닌 경우에도 끝까지 경로를 탐색하게 된다.
(DFS 방식으로 풀었을 때 시간복잡도)
따라서 O(n^3) 의 시간 복잡도를 가지며 DP 방식을 사용해 모든 쌍에 대한 최단 경로를 구할 수 있는 플로이드-워셜 알고리즘을 사용했다.
import sys
input = sys.stdin.readline
n = int(input())
m = int(input())
INF = 1e9
graph = [[INF for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]
# 자기 자신의 비용은 0 으로
for i in range(1,n+1):
graph[i][i] = 0
# 간선 입력
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
if graph[a][b] > c:
graph[a][b] = c
# 플로이드-워셜 작업 - 거쳐가는 노드를 하나씩 끼워봄
for k in range(1, n+1): # 거쳐가는 노드
for i in range(1, n+1): # 출발 노드
for j in range(1, n+1): # 도착 노드
graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k]+graph[k][j])
# 출력
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, n+1):
if graph[i][j] == INF:
print(0, end =' ')
else:
print(graph[i][j], end=' ')
print()어렵다 어려워~
