[조건부 확률] 몬티홀 문제 (서울대학교 산업공학과 대학원 기출문제)

허상범·2021년 9월 16일
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얼마전 DP에도 나온 몬티홀 문제! 개인적으로 준비하는 시험이 있어서 확률론 공부도 할겸 재미삼아 모범 답안을 필사해보았습니다. 본 문제는 서울대학교 산업공학과 대학원 입시 샘플 테스트 문제 중 통계학(확률론) 문제에 해당합니다.

Problem Statement

플레이어는 게임의 참가자와 호스트 총 2명으로 주어져있으며 게임의 룰은 총 4개의 문 가운데 3개에는 염소가 있고 1개의 문에만 차가 있습니다.

현재 참가자는 A를 외쳤고, 호스트는 염소가 있는 문 B를 열었습니다. 만약 1번의 기회가 다시 주어진다면, 참가자는 자신의 선택을 번복하여 C와 D 중 1개의 문을 다시 선택하는 것이 더 이득일까요? 아니면 현재 선택을 유지하는 것이 이득일까요?

Q1. Is it to your advantage to switch your choice?

이 문항의 경우에는 결론을 묻는 문항이기에 아래 풀이과정을 우선적으로 살펴보도록 합시다.

Q2. Define the events as follows and justify your answer.

친절한 문제라고 생각이 드는 것이, 이벤트를 정의하라는 가이드를 주고 있기 때문에 개별 사건별로 확률을 구하는게 좀 더 수월해보입니다.

Step 1) Event Definition

  • EventAEvent\,A : 문 A 뒤에 차가 있을 확률
  • EventBEvent\,B : 문 B 뒤에 차가 있을 확률
  • EventCEvent\,C : 문 C 뒤에 차가 있을 확률
  • EventDEvent\,D : 문 D 뒤에 차가 있을 확률
  • EventB0Event\,B_0 : 호스트가 열은 문 B에 염소가 있을 확률 (꽝)

이때, P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=1/4P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=1/4\,로 별다른 조건없이 각각의 문 뒤에 차가 있을 확률, 즉 승리할 확률(사전 확률)은 모두 같습니다.

단, P(B0)P(B_0)를 계산하기 위해서는 각 4개의 문을 열었을 때 차가 있는 사건들이 발생한 것을 전제로 한 조건부확률을 계산해야 합니다.

Step 2) P(B0)P(B_0)의 확률 계산 (Bayes' Theorem)

  • P(B0)=P(B0A)P(A)+P(B0B)P(B)+P(B0C)P(C)+P(B0D)P(D)P(B_0)=P(B_0|A)P(A) + P(B_0|B)P(B) + P(B_0|C)P(C)+P(B_0|D)P(D)

whereP(B0A)=1/3,P(B0B)=0,P(B0C)=P(B0D)=1/2where\,\,P(B_0|A)=1/3,\,\,P(B_0|B)=0,\,P(B_0|C)=P(B_0|D)=1/2

s.t.P(B0)=(1/31/4)+0+(1/21/4)+(1/21/4)=1/3s.t.\, P(B_0)=(1/3*1/4)\,+0\,+(1/2*1/4)\,+(1/2*1/4) =1/3

이제 모든 셋팅이 완료되었습니다. 우리는 이제 P(AB0)P(A|B_0)P(CB0),P(DB0)P(C|B_0),\,P(D|B_0)의 값을 계산해서 승률이 더 높은 선택을 구하면 Q1에 대한 정답과 그 근거가 마련됩니다.

Step 3) 최종 승률 계산 (Bayes' Theorem)

  • P(AB0)=P(B0A)P(A)/P(B0)=(1/31/4)/(1/3)=1/4P(A|B_0)=P(B_0|A)P(A)/P(B_0)=(1/3\,*1/4)/(1/3)=1/4
  • P(CB0)=P(B0C)P(C)/P(B0)=(1/21/4)/(1/3)=3/8=P(DB0)P(C|B_0)=P(B_0|C)P(C)/P(B_0)=(1/2\,*1/4)/(1/3)=3/8=P(D|B_0)

s.t.P(AB0)<P(CB0)=P(DB0)s.t.\,P(A|B_0) < P(C|B_0)=P(D|B_0)

따라서, 선택을 번복하여 C 또는 D를 선택하는 것이 참가자에게 이득 !


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