4. MC Integration on the sphere of Directions

이현기·2022년 8월 26일
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  • 주의 사항
  1. 이 글은 RayTracing:The Rest of Your Life를 공부하며 작성한 글이다.
  2. 모든 사진, 글은 RayTracing:The Rest of Your Life에서 가지고 왔다.
  3. 영어 해석, 이론적으로 틀린 내용이 존재할 경우가 매우 크다. (지적해주시면 감사합니다.)
  4. 글을 쓰는 능력이 매우 안좋으니 이해해주세요. 연습 중 입니다.

우리가 평소에 실습으로 진행했던 RayTracer는 Random한 direction을 기준으로 만들어 졌다. 그리고 Direction들은 unit sphere을 구성하는 point로 표현될 수 있었다. 이전과 같은 Methodology로 적용이 된다. 그러나 우리는 저번 시간에 배운 PDF를 이용하여 2D를 정의 해본다고 한다.
먼저 모든 direction이 아래의 수식을 가지고 있다고 가정해보자.

cos2(θ)\int \cos^2(\theta)

MC integration에 의해, 우리는 위의 식을 cos2(θ)/p(direction)\cos^2 (\theta) / p(direction)로 sample 할 수 있다. 그러나 여기서 자주 말하는 direction이라는 것은 무엇일까? 우리는 그것을 polar coordinate기반으로 만들어 낼 수 있다. 그래서 pp(θ,φ)(\theta, \varphi)로 나타낼 수 있다.
여기에서 우리가 위의 표현을 할 때 주의 할 점은 PDF는 영역의 넓이를 모두 더하게 된다면 1을 가지게 되고 그리고 direction이 sample이 될 확률을 상대적인 probability로 표현이 된다는 것을 주의해야 한다.

이제 sphere을 예로 연산을 한번 진행해보는 코드를 작성한다.

먼저 sphere에서 Uniform points들의 PDF는 무엇일가. unit sphere를 나타내는 것은 구의 밀도로써, 그것은 spher의 1/area1 / area이거나 또는 1/(4π)1 / (4\pi)이다. 만약 cos2(θ)\cos^2(\theta)인 integrand에서 나타내는 θ\theta는 z축과의 각도를 나타내는 것이다.
계산을 하게 된다면 우리는 43π\frac{4}{3}\pif를 얻을 수 있다. 이것은 구의 부피를 나타내는 식과 같다.


여기서 우리가 위의 공부한 것을 중점으로 중요하게 생각해야 할 점은 모든 integrals, 확률, 그리고 Unit sphere에 모든 것들이다. Unit sphere위에 있는 영역으로 Direction을 측정할 수 있다.

위의 작은 동그라미로 표시된 A를 말한다.
그리고 Direction이라고도 말하며 Solid Angle이라고도 말한다.

위의 사진에서 Solid Angle과 projected 된 area A는 같은 것이다.
Solid equation

θ=Ar2\theta = \frac{A}{r^2}

위의 Solid Angle과 여태 어려운 수식들을 공부하면서 지금까지 온 것 같다.
Solid Angle을 공부하기 위해서는 hemisphere coordinate를 먼저 공부를 하고 solid angle을 공부하면 좋다. 그리고 MC integration은 확실하게 알아두어야 좋을 것 같다.
다음 진행될 부분이 Scatter 부분인데 이제 radiance와 여러 더 어려운 방정식들이 나오니깐 기본을 한번 다지고 들어가는 것이 좋을 것 같다.

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