최단경로 문제
가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
다양한 상황
-
한 지점에서 다른 한 지점 까지의 최단 경로
-
한 지점에서 다른 모든 지점 까지의 최단 경로
-
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단경로
각 지점은 그래프에서 노드로 표현.
지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현
다익스트라 최단 경로 알고리즘
특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단경로를 계산하다.
현실 세계의 길 찾기 문제처럼 음의 간선이 없을 때 정상 동작한다.
또한 그리디 알고리즘으로 분류되어 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임이의 과정을 반복한다.
DP + 그리디
동작과정
- 출발 노드 설정
- 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이븡를 갱신한다.
- 위 과정에서 3,4번을 반복한다.
알고리즘 동작 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 경로를 갱신하게 된다.
다익스트라 알고리즘의 특징
-
그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
-
단계를 거치며 한번 처리된 노드의 최단 거리는 고정이 되어 더 이상 바뀌지 않는다.
- 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다. -
다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됩니다.
- 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스 코드에 추가적인 기능을 넣어야 한다.
다익스트라 알고리즘 구현하기
# 코드 출처: https://www.youtube.com/watch?v=acqm9mM1P6o&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=7
import sys
imput = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 지정
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
strat = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
grapth = [ [] for i in range(n + 1)
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visited = False * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n +1)
# 모든 간선 정보를 입력 받기:
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b,c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in ragne(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(strart):
# 시작 노드에 대해서 최가화
distance[star] = 0
visited[start] = True
for j in grapht[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n-1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드르 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드르 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드르 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INF)라고 출력
if distance[i] == INF:
print('INFINITY')
# 도달할 숭 ㅣㅆ는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])위의 코드에서의 문제점
- 시간복잡도는 O(V^2)을 띄게 된다.
- 일반적으로 전체 노드의 5000개 이하일 경우는 위의 코드로 문제를 해결할 수 있지만 그 이상으로 노드의 수가 증가하는 경우 시간복잡도의 증가로 어려울 수 있다.
이 문제를 해결하기 위해서 우선순위 큐(Priority Queue)에 대해서 알아보도록 하겠다.
우선순위 큐 (Priority Queue)
우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
파이썬에서는 표준 라이브러리 형태로 지원한다.
힙(Heap) 자료구조
- 트리 모형을 이용하는 자료구조이다.
- 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용되는 자료구조 중 하낭다.
- 최소 힙(Min Heap), 최대 힙(Max Heap)이 있다.
최소 힙 예제
import heaq
# 오름차순 힙 정력
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heap.heappush(h, value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(heaq.heappop(h))
return result
result = heapsor([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4 ,6 ,8, 0])
print(result)
# 출력 : [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]최대 힙 예제 (heap에 넣어줄 때 value값을 음수화)
import heaq
# 오름차순 힙 정력
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입, 최대 정렬을 위해 값을 음수화
for value in iterable:
heap.heappush(h, -value)
# 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
# 값을 반환할 때는 다는 (-)를 붙여 양수화
for i in range(len(h)):
result.append(heaq.heappop(h))
return result
result = heapsor([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4 ,6 ,8, 0])
print(result)
# 출력 : [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]개선된 다익스트라 알고리즘의 구현 방법
-
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해(Heap)자료구조를 이용한다.
-
다익스트라 기본 동작 원리는 동일핟.
- 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가 적으로 이용한다.
- 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.
우선순위 큐 자료구조를 이용한 개선된 다익스트라 알고리즘
# 코드 출처: https://www.youtube.com/watch?v=acqm9mM1P6o&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=7
import heaq
import sys
imput = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 지정
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
strat = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
grapth = [ [] for i in range(n + 1)
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
# 힙이 우선순위로 뽑아주기 때문에 방문을 기록하지 않아도 된다.
#visited = False * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n +1)
# 모든 간선 정보를 입력 받기:
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b,c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in ragne(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
# 우선순위 자료구조를 사용한 당익스트라
def dijkstra(strart):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0 으로 설정하여, 큐에 삽입
heaq.heaqpush(q, (0, start))
dsitance[star] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now =heaq.heaqpop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + [i]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] =cost
heaq.heaqpush(q, i[0])
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INF)라고 출력
if distance[i] == INF:
print('INFINITY')
# 도달할 숭 ㅣㅆ는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])힙을 사용한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도
- 힙에서 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while)문은 노트 개수 V이상 횟수로는 처리 되 지 않는다.
결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 수행 될 수 있다.
- 직관적으로 전체과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있습니다.
중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있다.O(ElogE) -> E(ElogV^2) -> O(2ElogV) -> E(ElogV)
플로이드 위셜 알고리즘
플로이드 워셜 2차원 테이블 이용해서 모든 노드에서 다른 모든 노드로 이동하는 경우의 수를 테이블에 기록하게 된다. 테이블 값을 점화식에 따라 3중 반복문을 활용해서 갱신하게 된다는 점에 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.
시간 복잡도는 O(N^3) 이기 때문에 노드의 수가 짧은 경우에 사용하는게 좋다
출발 지점의 행과 열을 제외, 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 경우는 제외
INF = int(1e9)
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 그래프 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n+1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, n+1):
if i == j:
graph[i][j] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for i in range(1, n+1): # 거쳐가는 노드
for a in range(1, n+1): # 출발 노드
for b in range(1, n+1): # 도착 노드
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]
# 결과 출력
for a in range(1, n+1): # 출발 노드
for b in range(1, n+1): # 도착 노드
# 도달할 수 없는 경우, INF 출력
if graph[a][b] == INF:
print("INF", end=' ')
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(graph[a][b], end='')
print()최단 경로 알고리즘 기초 문제 풀이
핵심 아이디어: 한 도시에서 다른 도시까지의 최단거리 문제로 치환
N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘을 구현한다.
import heaq
import sys
imput = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한값 지정
# 다익스트라
def dijkstra(start);
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q,(0,start))
distance[start] = 0
while q: # q가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
if distance[now] = dist:
continue
# 현재 노드와 연결되 ㄴ다른 인접한 노드들을 확인
for i i graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heapush(q, (cost, i[0]))
# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, star = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 논드에 대한 정보를 담는 리스트틀 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
x, y, z = map(int, input().split())
# X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 z
graph[x].append((y,z))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
# 도달할 수 있는 노드의 경우
if d != 1e9
count += 1
max_distance = max(max_distance, d)
# 시작 노드는 제외해야 하므로 (count -1)을 출력
print(count -1, max_distance)
