서로소 자료집합 구조
서로소 집합(Disjoint Sets)
서로소 집합이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.
서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다
- 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
- 찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.
서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 한다.
여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서러소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같다.
-
1.합집합(Union) 연산을 확인, 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인.
1) A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다. 2) A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. -
2.모든 합집합(Union)연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다.
서로소 집합 자료구조: 연결성
서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 집합의 형태를 확인할 수 있다.
단점
기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에수는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없다.
_루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 한다.
서로소 집합 자료구조 코드 구현
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
retrun find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union parent (parent, a, b):
a = find_parent (parent, a)
b = find_parent (parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블상에서, 부보를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent i= i
# 연산을 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, 1), end='')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent(parent, 1), end='')서로소 집합을 활용한 사이클 판별
- 사이클 판별 알고리즘
- 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
1) 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union)연산을 수행한다.
2) 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle) 발생. - 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정 반복한다.
- 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
retrun find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union parent (parent, a, b):
a = find_parent (parent, a)
b = find_parent (parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블상에서, 부보를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent i= i
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a,b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클이 발생했습니다")
else:
print("사이클이 발생하지 않았습니다.")신장트리
그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
(모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 하다.)
최소 신장 트리
최소한의 비용으로 구성되는 신장트리를 찾아야 할때 사용.
크루스칼 알고리즘
대표적 최소 신장 트리 알고리즘으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.
동작과정
- 간선 뎅터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
- 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생 시키는지 확인
1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함.
2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장트리에 포함하지 않는다.- 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.
크루스칼 알고리즘 코드 구현
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
retrun find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union parent (parent, a, b):
a = find_parent (parent, a)
b = find_parent (parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부보를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent i= i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for i i n range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하지 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edges in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 밣생하지 않는 경우에만 집합 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a,b)
result += cost
print(result)
위상 정렬
사이클이 없는 그래프의 모든 노드를 방향성에서 거스르지 않도록 순서대로 나열하는것을 의미한다.
진입차수와 진출차수
- 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
- 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
위상정렬 알고리즘 동작과정
큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다.
- 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
- 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.
위상 정렬의 특징
- 위상 정렬은 DAG(Direct Acyclic Graph, 순환하지 않는 방향 그래프)에 대해서만 수행할 수 있다.
- 위상 정렬에는 여러가지 답이 존재할 수 있다. 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다.
- 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단.
- 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.
위상 정렬 알고리즘 코드 구현
from collections import deque
# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
#방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
# 진입차수 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = dque()
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v+1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end=' ')
topology_sort()