한빛 아카데미의 프리드버그 선형대수학 7판을 정리하고 풀이한 글입니다.

1. 일차종속과 일차독립

$def.$일차종속

벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대해, $a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n = 0$을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $u_1, ..., u_n \in S$와 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 $a_1, ..., a_n$이 존재하면 집합 $S$는 일차종속(linearly dependent)이라 한다. 이때, S의 벡터 또한 일차종속이다.

임의의 벡터 $u_1, ..., u_n$에 대해, $a_1 = ... = a_n = 0$이면 $a_1u_1 + ... + a_nu_n = 0$이다. 이를 가리켜 $u_1, ..., u_n$의 일차결합에 대한 영벡터의 자명한 표현이라 한다.

$def.$ 일차독립

벡터공간의 부분집합 S가 일차종속이 아니면 일차독립(linearly independent)이다. 이때, S의 벡터 또한 일차독립이다.

일차독립인 집합에 대한 다음 명제들은 모든 VS에서 참이다.
1. 공집합은 일차독립
2. 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 일차독립이다.
3. 어떤 집합이 일차독립 $\Leftrightarrow$ 0을 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현 뿐이다.

앞으로 'LI'는 일차독립, 'LD'는 일차종속을 가리키는 표현으로 사용함

$Thm 1.6$

$V$가 벡터 공간이고 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$라 하자. $S_1$이 일차종속이면 S_2도 일차종속이다.

$S_1$에서 $a_1u_1 + ... + a_nu_n = 0$이 되는 유한개의 서로 다른 벡터 $u_1, ..., u_n$을 뽑자. $S_1$이 일차종속이므로 $a_1, ..., a_n$ 중 적어도 하나는 0이 아니다.

$S_2$에서 추가로 서로 다른 벡터를 뽑아 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$a_1, ..., a_n$ 중에 0이 아닌 것이 있으므로, 이것도 영벡터의 자명하지 않은 표현이다. 따라서 $S_2$도 일차종속이다.

따름정리

$V$가 벡터 공간이고 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$라 하자. $S_2$가 일차독립이면 $S_1$도 일차독립이다.

$Thm1.6$의 대우다.

$Thm 1.7$

벡터공간 $V$와 일차독립인 부분집합 $S$를 생각하자. $S$에 포함되지 않는 벡터 $v \in V$에 대해, $S \cup \{v\}$가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 $v \in span(S)$다.

$S \cup \{v\}$이 LD면 다음을 만족하는 $u_1, ..., u_n \in S \cup \{v\}$와 $a_1, ..., a_n$이 존재한다(단 $a_i$ 중 적어도 하나는 0이 아님).

$S$가 LI이므로 만약 $u_1, ..., u_n$ 중에 $v$가 없다면 $a_1 = ... = a_n = 0$이어야 한다. 따라서 $u_1, ..., u_n$ 중 적어도 하나는 $v$여야 한다. $u_1 = v$라 해보자. $a_1u_1 = -a_2u_2 - a_3u_3 - ... - a_nu_n$이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$v$가 $u_2, ..., u_n$의 일차결합이므로 $v \in span(S)$다.

이번에는 $v \in span(S)$라 가정하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$v \not\in S$이므로 $v_i \neq v$이고, $v$의 계수는 0이 되지 못한다.
집합 $\{v_1, ..., v_m, v\}$가 LD이므로, $S \cup \{v\}$도 LD다.

2. 연습문제

1, 2, 7, 11, 21번은 한빛아카데미의 프리드버그 선형대수학 공개용 답안에 답안이 있다.

3.

영벡터의 자명하지 않은 표현을 쉽게 찾을 수 있다.

4.

$a_1e_1+...+a_ne_n=(a_1,...,a_n)$이다. $(a_1, ..., a_n)$이 영벡터가 되려면 $a_1 = ... = a_n = 0$이어야 하므로, 주어진 집합은 LI이다.

5.

$a_0 \cdot 1 + a_1 x + ... + a_nx^n = 0$이 되려면 $a_0 = ... = a_n = 0$이어야 한다. 따라서 LI.

6.

4, 5번과 마찬가지로 풀 수 있다.

8.

(a) $a(1, 1, 0) + b(1, 0, 1) + c(0, 1, 1) = (a + b, a + c, b + c) = 0$이라 하자$(a, b, c \in R)$.
$(a + b, a + c, b + c) = 0$이면 $a = b = c = 0$이어아 한다. 따라서 주어진 집합은 LI이다.

(b) $(1, 1, 0) + (1, 0, 1) + (0, 1, 1)$을 생각하자. F의 지표가 2이므로 $(1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (0, 0, 0)$이다. 영벡터의 자명하지 않은 표현이 있으므로 주어진 집합은 LD.

9.

$\{u, v\}$가 일차종속이라 하자. $au + bv = 0$일 때, $a, b$ 중 적어도 하나는 0이 아니다. $a$가 0이 아니라고 가정해보자. $au = -bv$, $u = a^{-1}(-b)v = -(a^{-1}b)v$ 가 된다.

이번에는 $v = au$라고 가정해보자. $v + (-a)u = 0$이다. 이는 영벡터에 대한 자명하지 않은 표현이므로 $\{u, v\}$는 LD다.

10, 11, 12. pass

13 .

($\Rightarrow$)
$au + bv = 0 \rightarrow a = b = 0$이다.
$c(u + v) + d(u - v) = (c + d) u + (c - d)v = 0$이라 하자. 가정에 따라 $c+d = c-d = 0$이고 $c = d= 0$이어야 한다. 따라서 $\{u+v, u-v\}$는 LI다.

($\Leftarrow$)
$\{u,v\}$가 LD이면 $\{u+v, u-v\}$도 LD임을 보이면 된다. (대우)
$au + bv = 0$이면서 $a, b$ 둘 중 적어도 하나는 0이 아니라 하자.
$au + bv = \frac{(a + b)}{2}(u+v) + \frac{(a-b)}{2}(u-v)$로 쓸 수 있다. 만약 $\frac{a+b}{2} = \frac{a-b}{2} = 0$이면 $a = b = 0$이 되어 가정과 모순이다. 따라서 $\frac{a+b}{2}, \frac{a-b}{2}$ 둘 중 적어도 하나는 0이 아니다. 즉 $\{u, v\}$가 LD면 $\{u+v, u-v\}$도 LD가 된다.

(b)는 (a)와 유사한 방법으로 증명할 수 있다.

14.

($\Rightarrow$)
$S$가 LD라 하자.

$S$의 원소 개수가 0개라 하자. $S = \emptyset$이므로 $S는$ LI이다. 따라서 $S$의 원소 개수는 0개가 아니다.

$S$의 원소 개수가 1개라 하자. 만약 $S \neq \{0\}$이면 $S$는 LI다. 따라서 $S$의 원소 개수가 1개면 $S = \{0\}$이다.

S의 원소 개수가 2개 이상이라 하자. $S = \{v, u_1, ..., u_n\}$이라 하자. 만약 $\{u_1, ..., u_n\}$이 LD면 Thm1.6에 따라 $S$도 LD다. 만약 그렇지 않으면 Thm 1.7에 따라 $S = \{u_1, ..., u_n\} \cup \{v\}$가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 $v \in span(\{u_1, ..., u_n\})$이다. 따라서 $S$가 일차종속이면 $v \in span(\{u_1, ..., u_n\})$이다. 즉 v4가 $u_1, u_2, ..., u_n의 일차결합이다.

($\Leftarrow$)
$S = \{0\}$이면 $S$는 LD다. $v = a_1u_1 + ... + a_nu_n$라 하면, $v - a_1u_1 - a_2u_2 - ... - a_nu_n = 0$이다. $v, u_1, ..., u_n$의 일차결합에 대한 영벡터의 자명하지 않은 표현이므로 $S$는 LD다.

15.

i) $T = S - \{u_1\} = \emptyset$이라 하자. Thm 1.7에 따라, $T \cup \{u_1\}$가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 $u_1 \in span(T)$다. $T = \emptyset$이므로 $span(T) = \{0\}$이고, $u_1 = 0$이다.

ii) $S$의 부분집합 $S' = \{u_1, ..., u_k\}$을 생각해보자. $S'$가 LD면 $S$도 LD이고, 그렇지 않으면 Thm 1.7에 따라, $S' \cup \{u_{k+1}\}$이 일차종속이기 위한 필요충분조건은 $u_{k+1} \in span(S')$다. $S' \cup \{u_{k+1}\} \subseteq S$이므로, Thm 1.6에 따라 $S \cup \{u_{k+!}\}$이 일차종속이면 $S$도 일차종속이다.

i)과 ii)에 따라 $S$이 일차종속이기 위한 필요충분조건은 $u_1 = 0$이거나 $u_{k+1} \in span(\{u_1, u_2, ..., u_k\})$이다.

16.

($\Rightarrow$) Thm 1.6으로 증명 생략
($\Leftarrow$) $S$의 모든 유한 부분집합이 LI $\Rightarrow$ $S$가 LI 임을 증명해야 한다. 이 대우인 $S$가 LD면 $S$의 어떤 유한 부분집합이 LD임을 증명하면 된다. 일차종속의 정의를 보자. 이를 만족하는 $S' = \{u_1, ..., u_n\} \subseteq S$가 있고, $S'$는 LD다. 대우가 참이므로 원래의 명제도 참이다.

17.

각 열벡터를 $M_1, M_2, ..., M_n$이라 하자. $a_1M_1 + ... + a_n M_n = 0$이면 $a_1 = ... = a_n = 0$임을 증명하면 된다.

$M$이 상삼각행렬이므로 $M_1, ..., M_{n-1}$의 $n$번째 성분은 0이고, 따라서 $a_1M_1 + ... + a_nM_n$의 $n$번째 성분은 $a_nM_{nn} = 0$이다. $M$의 대각성분이 0이 아니므로 $a_n = 0$이다.

이번에는 $n-1$번째를 생각하자. $a_n = 0$이므로 $a_1M_1+ ... + a_nM_n = a_1M_1 + ... a_{n-1}M_{n-1} = 0$이다. 위와 마찬가지의 방식으로 $a_{n-1}M_{n-1,n-1}$은 0인데, $M_{n-1,n-1} \neq 0$이므로 $a_{n-1} = 0$이다.

마찬가지로 계속하면 $a_1 = a_2 = ... = a_{n-1} = a_n = 0$이다. 따라서 $M$의 열벡터는 일차독립이다.

18.

17과 유사하게 증명할 수 있다.

19. pass

20.

$af + bg = 0$이면 $a = b= 0$인지를 확인해야 한다(단, $a, b \in R$).
$t = 0$일 때, $af(t) + bg(t) = ae^0 + be^0 = a + b = 0$이므로 $a = -b$다.
$af + bg = af - ag = 0$이므로 $af= ag$다. 만약 $a \neq 0$이면 $f = g$여야 하는데, 문제에서 $f \neq g$라 했으므로 모순이다. 그러므로 $a = b= 0$이어야 하고, 따라서 $f, g$는 일차독립이다.