한빛 아카데미의 프리드버그 선형대수학 7판을 정리하고 풀이한 글입니다.

앞으로는 $U$가 벡터공간 $V$의 부분공간임을 $U \leq V$로 표기합니다.

1. 일차결합과 연립일차방정식

$def.$ 일차결합

벡터공간 $V, S \subseteq V, S \neq \emptyset$. 유한개의 벡터 $u_1, u_2,..., u_n \in S$와 스칼라 $a_1,a_2,...,a_n$에 대해 다음을 만족하는 벡터 $v \in V$는 $S$의 일차결합이라 한다.
$v = a_1u_1 + a_2u_2 + ...a_nu_n$
이때, $v$는 벡터 $u_1,u_2,...,u_n$의 일차결합이고 $a_1,a_2,...,a_n$은 이 일차결합의 계수다.

연립일차방정식

연립일차방정식이 주어졌다고 하자. 주어진 연립방정식에 대해 다음의 세 연산을 반복하면 처음 주어진 연립방정식의 해를 바꾸지 않고 연립방정식을 보다 간단하게 만들 수 있다.

• 연산 1) 두 방정식의 위치를 바꾼다.
• 연산 2) 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다
• 연산 3) 상수배하여 얻은 방정식을 다른 방정식에 더한다.

이 세 연산을 반복하는 목적은 다음의 성질을 가지는 연립방정식을 만들기 위함이다.

• 성질 1) 각 방정식에서 처음으로 등장하는 0이 아닌 계수는 1이다.
• 성질 2) 각 방정식에서 처음으로 등장한 미지수에 대해, 다른 방정식에서 해당 미지수의 계수는 모두 0이다.
• 성질 3) 처음으로 등장하는 미지수의 첨자는 다음 행으로 갈 때마다 증가한다.

연립방정식 풀이에 대한 자세한 내용은 3장에서 다룬다.

2. 생성

$def.$ 생성공간

벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$에 대해, $S$의 생성공간은 $S$의 벡터를 사용해 만든 모든 일차결합의 집합이며 $span(S)$로 표기한다. 편의상 $span(\emptyset) = \{0\}$으로 정의한다.

$Thm1.5$

벡터공간 $V$의 임의의 부분집합 $S$의 생성공간은 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간이다. 또한 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간은 반드시 $S$의 생성공간을 포함한다.

$pf (1).$ 벡터공간 $V$의 임의의 부분집합 $S$의 생성공간이 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간임을 증명.
$S = \emptyset$인 경우) $span(S) = \{0\}$이다. $\emptyset \subset \{0\}$이고 $\{0\} \leq V$다.
$S \neq \emptyset$인 경우)

• 영벡터가 있나? 임의의 벡터 $z \in span(S)$에 대해, $0z = 0 \in span(S)$다.
• 덧셈에 닫혀 있나?
  벡터 $x, y \in span(S)$ 에 대해, $x = a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_nu_n$, $y = b_1v_1 + b_2v_2 + ... + b_mv_m$이 되는 $a_1, ..., a_n, b_1,..., b_m \in F$, $u_1,...,u_n, v_1, ..., v_m \in S$다. $x + y = a_1u_1 + ... a_nu_n + b_1v_1 + ... + b_mv_m$이고 이는 $S$의 일차결합이므로 $span(S)$의 원소다.
• 스칼라 곱에 닫혀 있나?
  스칼라 $c \in F$를 생각하자. $cx = c(a_1u_1 + ... a_nu_n) = (ca_1)u_1 + ... + (ca_n)u_n$이다. 이것도 $S$의 일차결합이므로 $cx \in span(S)$다.

따라서 벡터공간 $V$의 임의의 부분집합 $S$의 생성공간은 $V$의 부분공간이다.

임의의 벡터 $v \in S$에 대해, $1 \cdot v = v$는 $S$의 일차결합이므로 $v \in span(S)$다. 즉 $S \subseteq span(S)$다. 따라서 $span(S)$는 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간이다.$\square$

$pf(2).$ $S$를 포함하는 $V$의 부분공간은 $S$의 생성공간을 포함함을 증명.
$S$를 포함하는 $V$의 임의의 부분공간 $W$를 생각하자. $a_1, ..., a_n \in F$, $w_1, ..., w_n \in S$라 할 때, 임의의 벡터 $w \in span(S)$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$S \subseteq W$이므로 $w_1, ..., w_n \in W$이고, $W$가 부분공간이므로 $a_1w_1 + ... + a_nw_n \in W$다. $span(S)$의 임의의 원소가 $W$의 원소이므로 $span(S) \subseteq W$다.

$def.$ 생성

벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대해, $span(S) = V$이면 $S$는 $V$를 생성한다고 한다.

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2. 연습문제

1, 2, 3, 4, 5, 13번은 한빛아카데미의 프리드버그 선형대수학 공개용 답안에 답안이 있다.

6.

임의의 벡터 $(a, b, c) \in F^3$가 주어진 세 벡터의 일차결합임을 나타내면 된다.

7, 8, 9 패스

10.

임의의 $2 \times 2$ 대칭행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이는 $aM_1 + bM_2 + cM_3$로 나타낼 수 있다. 임의의 $2 \times 2$대칭행렬을 $M_1, M_2, M_3$의 일차결합으로 나타낼 수 있으므로 이 세 행렬은 $2 \times 2$ 대칭행렬의 집합을 생성한다.

11.

증명은 생성공간의 정의에 따라 쉽게 할 수 있다. $R^3$에서 $span({x})$는 3차원 공간의 한 점 $x$와 원점을 지나는 직선이라 볼 수 있다.(아마도?)

12.

$pf (1).$ $span(W) = W$이면 $W$는 $V$의 부분공간임을 증명.
정리 1.5에 의해 $V$의 임의의 부분집합의 생성공간은 $V$의 부분공간이다. 따라서 $span(W) \leq V$이고 $W = span(W)$이므로 $W \leq V$다.

$pf(2).$ $W$가 $V$의 부분공간이면 $span(W) = W$임을 증명.
정리 1.5에 의해 $V$의 임의의 부분집합 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간은 반드시 $S$의 생성공간을 포함한다. 따라서 $W$가 $V$의 부분공간이므로 $W$는 $span(W)$를 포함한다($span(W) \subseteq W$). 한편 $W$의 임의의 벡터 $w$는 $1 \cdot w$와 같이 $W$의 일차결합으로 나타낼 수 있다. $W$의 임의의 원소가 $span(W)$의 원소이므로 $W \subseteq span(W)$다. 따라서 $span(W) = W$다.

14.

$pf(1).$
임의의 벡터 $v \in span(S_1 \cup S_2)$를 생각하자. $v$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$a_1v_1 + ... + a_nv_n \in span(S_1)$이고 $b_1u_1 + ... + b_mu_m \in span(S_2)$이므로 $v \in span(S_1) + span(S_2)$다. 따라서 $span(S_1 \cup S_2) \subseteq span(S_1) +span(S_2)$다.

$pf(2).$
임의의 벡터 $v \in span(S_1)$, $u \in span(S_2)$를 생각하자. $v = a_1v_1 + ... + a_nv_n$, $u = b_1u_1 + ...+ b_m u_m$이라 나타낼 수 있다($v_i \in S_1, u_j \in S_2)$. $u + v \in span(S_1) + span(S_2)$는 $a_1v_1+ ...+a_nv_n + b_1u_1 + ... + b_mu_m$이고 ㅇ는 $span(S_1 \cup S_2)$의 원소다. 따라서 $span(S_1) + span(S_2) \subseteq span(S_1 \cup S_2)$다.

따라서 $span(S_1 \cup S_2) = span(S_1) + span(S_2)$다. $\square$

15.

(1)
$S_1 \cap S_2 \subseteq S_1 \subseteq span(S_1)$이다. $span(S_1)$는 $V$의 부분공간이므로 벡터공간이다. 정리 1.5에 따라 벡터공간의 임의의 부분집합의 생성공간은 그 부분집합을 포함하는 부분공간이다. 즉 $S_1 \cap S_2 \subseteq span(S_1 \cap S_2) \leq span(S_1)$이다. 따라서 $span(S_1 \cap S_2) \subseteq span(S_1)$이다. $S_2$에 대해서도 마찬가지이므로 $span(S_1 \cap S_2) \subseteq span(S_2)$다. 따라서 $span(S_1 \cap S_2) \subseteq span(S_1) \cap span(S_2)$다.

(2)
$S_1 = S_2$라 하면 $span(S_1 \cap S_2) = span(S_1) = span(S_1) \cap span(S_2) = span(S_1)$이다.
영벡터가 아닌 벡터 $x$가 있고, $S_1 = \{x\}$, $S_2 = \{-x\}$라 하자. $S_1 \cap S_2 = \emptyset$이므로 $span(S_1 \cap S_2) = \{0\}$이지만 $span(S_1) \cap span(S_2) \neq \{0\}$이다.

16.

$u \in span(S)$를 다음과 같이 쓸 수 있다고 하자.

이를 정리하면 $(b_1 -c_1) v_1 + ... + (b_ n - c_n) v_n$이다. 가정에 따라 각 $b_i = c_i$이므로 $span(S)$의 임의의 벡터는 $S$의 일차결합으로 표현하는 방법이 유일하다.

17.

$W$가 유한개의 원소를 가져야 한다.