최단거리 알고리즘
1) 다익스트라 최단 경로 알고리즘
2) 플로이드 워셜
3) 벨만 포드 알고리즘
다익스트라 최단 경로 알고리즘
그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단경로를 구해주는 알고리즘
-> 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인, 현재 처리 노드의 인접 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 '더 짧은 경로도 있었네? 이제는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 판단하는 것임.
- 직관적으로 다익스트라 최단경로의 시간복잡도 O(ElogE)
- 힙자료구조를 사용하는 다익스트라 알고리즘의 시간복잡도 O(ElogV)
방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘
처음에는 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트 선언. 이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억 설정
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기\
n,m = map(int,input().split())
#시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance =[INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기:
for _ in range(m):
a,b,c = map(int,input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미.
graph[a].append((b,c))
#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
for i in range(1,n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
#시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] =j[1]
#시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n-1):
#현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
#현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost =distance[now] + j[1]
#현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1,n+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한(INF)라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INF")
#도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘
개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙(Heap) 구조를 사용한다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다. 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다. N=1,000,000일 때 logN이 약 20인 것을 감안하면 속도가 획기적으로 빨라지는 것임을 이해할 수 있다.
import sys
import heapq
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억 설정
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기\
n,m = map(int,input().split())
#시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance =[INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기:
for _ in range(m):
a,b,c = map(int,input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미.
graph[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q = []
#시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0 으로 설정하며 , 큐에 삽입
heapq.heappush(q,(0,start))
distance[start] = 0
while q:#큐가 비어 있지 않다면
#가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist , now = heapq.heappop(q)
#현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] <dist:
continue
#현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
#현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q,(cost,i[0]))
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1,n+1):
#도달할 수 없는 경우 무한(INF)출력
if distance[i] == INF:
print("INF")
#도달핧 수 있는 경우 거리 출력
else:
print(distance[i])플로이드 워셜 알고리즘
시간 복잡도는 O(N^3)
노드의 개수가 N개 일 때, N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로'를 고려한다. 따라서 시간 복잡도는 총 O(N^3)이다.
설명
-
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구하는 알고리즘이다.
링크텍스트 -
'모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘
-
소스코드가 다익스트라에 비해 매우 짧아 구현이 쉽다.
-
다익스트라의 경우 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택한다. 이후 해당 노드를 거쳐가는 경로를 확인하며 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작한다.
<--> 플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만, 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다! -
플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
(모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 거리를 저장해야 하기 때문이다.)
<--> 다익스트라는 한 지점에서 다른 지점까지의 최단 거리이기 때문에 1차원 리스트에 저장한다. -
플로이드 워셜 알고리즘은 DP 알고리즘에 속한다.
왜냐하면 만약 노드의 개수가 N개라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 DP라고 볼 수 있다.
<--> 다익스트라는 그리디 알고리즘에 속한다고 볼 수 있다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)
# 노드의 개수(n)과 간선의 개수(m) 입력
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트 (그래프 표현) 만들고, 무한대로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A -> B로 가는 비용을 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if graph[a][b] == INF:
print('INFINITY', end=' ')
else:
print(graph[a][b], end=' ')
print()
# sample input
# 4
# 7
# 1 2 4
# 1 4 6
# 2 1 3
# 2 3 7
# 3 1 5
# 3 4 4
# 4 3 2