목차

6.1 서론
6.2 확률변수들의 함수의 확률분포 구하기
6.3 서론
6.4 서론
6.5 서론
6.6 서론
6.7 순서통계량

6.1 서론

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통계학의 목적: 모집단으로부터 추출한 표본에 포함 되어있는 정보에 근거하여 모집단에 관해 추론하는 것

진실로 유용한 추론은 우수한 정도와 관련된 측도를 동반해야함.
지금까지 논의된 내용 중 어느 것도 이번에 배울 확률변수들의 함수의 분포에 관한 연구만큼 통계학의 목적에 밀접하지 않음 -> 확률변수의 함수의 분포를 연구하는 것은 통계학의 목적에 가장 부합하다.

모평균 $\mu$를 추정하는 문제를 생각해 보자.
$n$개의 관측값들 $y_1,\,y_2,\ldots\,y_n$의 확률표본을 모집단에서 추출하여

를 $\mu$의 추정값으로 사용하자.
추정값의 우수성에 대한 측도는 추정값과 추정하려는 모수 간의 차이($\bar{y} - \mu$)인 추정오차(error of estimation)이다.
$Y_1,\,Y_2,\ldots\,Y_n$이 확률변수이기 때문에 $\overline{Y}$도 확률변수이고 n개의 확률변수 $Y_1,\,Y_2,\ldots\,Y_n$의 함수이다.
그러므로 추정오차가 특정한 값, 예를들어 B보다 작을 것이라고 확신할 수 없다. 하지만 추정량 Y_bar의 확률분포를 결정할 수 있다면, B 이하일 확률을 결정할 수 있다.
$n$개의 확률변수의 함수에 대한 확률분포를 결정하기 위해 확률변수 자신들의 결합확률분포(Joint Probability Distribution)을 구해야만 한다.

• 관측값들이 확률표본추출을 통해 얻어진다고 가정한다. (2.12절 정의)

3.7절 >> 유한모집단에서의 확률표본추출(비복원추출)은 시행들 간의 종속적인 결과를 초래하지만 모집단이 표본의 크기에 비해 크면 이 시행들은 독립이다.
이제 책의 나머지 전체에서 모집단은 표본 크기에 비해 크고, 따라서 확률표본추출로 얻어진 확률변수들은 서로 독립이라고 가정한다.

내 생각

추정 오차가 작으면 작을 수록 모집단과 비슷해지는 것.
그런 추정오차를 알기위해 확률변수들의 함수의 분포를 결정해야함(알아야한다).
그러므로 뒤에 나올 방법들을 통해 확률변수들의 함수의 분포를 구하는 듯.

이산인 경우 결합확률함수

연속인 경우 결합확률함수

6.2 확률변수들의 함수의 확률분포 구하기

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이제 확률변수들의 함수에 대한 확률분포를 구하는 방법 3가지와 확률변수들의 몇 가지 함수들에 대한 결합분포를 구하는 방법 4가지를 알아보려고 합니다.

이들 모두 확률변수들의 함수의 분포를 구하는데 사용 가능합니다.
하지만 이 방법들 중 하나는 다른 방법보다 더 간단하게 유도가 가능해서 가장 좋은 방법은 어디에 사용하냐에 따라 다릅니다.
그러므로 아래의 3가지 방법은 모두 알고있어야 합니다.

이제 확률변수 $Y_1,\,Y_2,\,\ldots,Y_n$의 함수를 $U$로 나타내고
$U(Y_1,\,Y_2,\,\ldots,Y_n)$라고 생각하겠습니다.
각 방법들은 아래에 더 자세하게 설명할 예정이니, "그냥 아 그렇구나"하고 넘어가도 됩니다.
대충 이런 방식이라고만 알아두면 이해하기 편하실 듯 합니다.

1. 분포함수법

   • $Y$들의 분포가 연속일 때 사용됩니다.
   • $U$에 대한 분포함수 $F_U(u)\,=\,P(U \leq u)$를 먼저 구합니다.(5장)
     1. 이를 위해, $U \leq u$인 $y_1,\,y_2,\ldots,\,y_n$ 공간에 해당하는 영역을 찾고,
     2. 이 영역에 대해 $f(y_1,\,y_2,\ldots,\,y_n)$을 적분^1하여 $P(U \leq u)$를 구해줍니다.
   • $U$의 밀도함수는 $F_U(u)$를 미분하여 구합니다.

2. 변수변환법

   • 만약 확률변수 $Y$의 밀도함수를 알고 있다면,
   • 증가함수이거나 감소함수인 $h(y)$에 대해 $\,U=h(Y)$의 밀도함수에 대한 일반적인 식을 얻을 수 있습니다.
   • 만약 $Y_1,\,Y_2$가 이변량 분포를 가진다면,
   • 먼저 설명한 일변량 결과를 이용하여 $Y_1$과 $\,U=h(Y_1,\,Y_2)$의 결합밀도함수를 구할 수 있습니다.
   • $y1$에 대해 적분하여 구하고자 하는 $U$의 주변확률밀도함수를 구한다.

3. 적률생성함수법

   "두 확률변수가 동일한 적률생성함수(mgf)를 가지면, 두 확률변수는 동일한 확률분포를 갖는다"

   라는 정리 6.1의 유일성 정리에 근거를 두고 있습니다. 이 정리는 아래에 나오니 인지하고 넘어가주세요.

   • $U$의 적률생성함수를 구하고 일반적인 이산확률변수 mgf, 연속확률변수 mgf와 비교해서 같은지 보는겁니다.
   • 만약 $U$의 mgf를 구했는데 $e^{\lambda(e^t-1)}$이 나온다면 뭘까요?

     바로 포아송 분포입니다. ^~^

이렇게 우리가 배웠던 mgf와 비교해서 같은 것을 찾아내는 방식이라고 할 수 있겠습니다.

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이제는 조금 더 자세하게 한번 알아보려고 합니다. 각 방법을 알려드리고 예제도 같이 풀어보면서 이해하면 좋을 것 같네요.

6.3 분포함수법(The Method of Distribution Function)

이해를 돕기 위해 일변량의 예로 분포함수법을 설명하겠습니다.

만일 $Y$가 pdf $f(x)$를 갖고, $U$가 $Y$의 어떤 함수^2이면,

$F_U(u)\,=\,P(U \leq u)$

를

$U \leq u$

영역에서 $f(y)$를 적분하여 직접 구할 수 있다.

라고 하는데 저는 개인적으로는 "어떤 함수"가 무엇을 의미하는지 잘 모르겠지만 일단 넘어가고 예제를 풀어보겠습니다.

설탕을 정제하는 어느 공장에서 매일 순수한 설탕을 1톤까지 생산할 수 있지만, 기계 고장과 또 다른 조업 단축 등으로 인해 실제 생산되는 양 $Y$는 확률변수이다. $Y$는 다음 밀도함수를 갖는다고 하자.

이 회사는 정제된 설탕에 대해 톤당 $300을 받지만, 매일 $100씩 고정 경상경비가 지출된다. 그러므로 하루의 이익은 $100 단위로 $U=3Y-1$이다. $U$의 확률밀도함수를 구하라.

분포함수법을 적용하기 위해, 다음을 구해야한다.

만일 $u < -1$이면, $\frac{(u+1)}{3} < 0$ 이므로,
$F_U(u) = P(Y\leq (u+1)/3)=0$이다.

또한 만일 $u > 2$이면, $\frac{(u+1)}{3} > 1$ 이고,
$F_U(u) = P(Y\leq (u+1)/3)=1$이다.
그러나 만일 $-1\leq u \leq 2$이면,
확률은 다음과 같이 $f(y)$의 적분으로 나타낼 수 있다.

$f(y)$의 위치에는 위에서 나왔던 $2y$를 대입해주면 됩니다.

쉽죠?

나머지 계산을 해봅시다. 따라서 풀어보시면 좋을 듯 합니다.

입니다.
자 여기서 주의해야할 점이 하나 있는데요.
처음에 $2y$는 $0\leq y \leq 1$라는 조건이 있었죠. 기억하시나요?
이건 무슨 범위일까요?
조금만 생각해보면 $0\leq y \leq 1$는 $f(y)$의 범위인 것을 알 수 있습니다.
그쵸?

그럼 위에서 "$u < -1$이면, "은 왜 해준걸까요?
지금 우리는 $Y$가 아니라 $U$를 구하고 있습니다.
그러므로 $Y$가 아닌 $U$의 범위로 변환 해줘야합니다.
이해되셨나요? 따라서 $y$가 $0, 1$일 때 $u$의 범위를 구해주었던거죠.

다시 돌아와서 확률변수 $U$의 분포함수는

인데 이해되시나요?
우리가 적분으로 구했던 $\left(\frac{u+1}{3}\right)^2$가 변환해준 $U$의 범위에 들어가고 나머지는 $0, 1$이 나오게 됩니다.

6.7 순서통계량