Edge Detection Filters

Edge란?

이미지에서 밝기 또는 색상이 급격하게 변하는 부분. 따라서 엣지를 찾는 가장 간단한 방법은 이미지를 “미분”하여 밝기(intensity)의 변화율(gradient)을 확인하는 것이다. gradient는 방향과 크기를 갖는 벡터(vector)로, 밝기가 변하는 방향(엣지의 방향)과 그 정도를 나타낸다.

이미지에서 엣지를 찾는 것은 컴퓨터 비전, 이미지 처리 분야에서 아주 중요하고 기초적인 단계라고 할 수 있다.

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1. Laplacian filter

2차 미분을 사용하여 이미지의 경계를 검출한다.

$Δf=\frac{∂^2f}{∂x^2}+\frac{∂^2f}{∂y^2}$

라플라시안 필터는 주로 다음과 같은 형태이다.

$L=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 또는 $L=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -8 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

장점: 빠른 연산. 모든 방향 엣지를 잘 감지

단점: 노이즈에 매우 민감함

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2. Sobel filter

x축 방향, y축 방향의 1차 미분(gradient)를 계산하여 이미지의 경계를 검출한다. Gaussian smoothing과 미분을 결합하여 노이즈에 강하다. (중간 행 또는 열이 더 큰 가중치를 가짐 → 가우시안 스무딩과 유사한 효과)

소벨 필터는 다음과 같은 형태이다.

• x축 방향 소벨 필터

$G_x=\begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & +2 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix}$

• y축 방향 소벨 필터

$G_y=\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ +1 & +2 & +1 \end{bmatrix}$

그래디언트 크기 (gradient magnitude) : $\sqrt{G^2_x + G^2_y}$

그래디언트 방향 (gradient direction) : $arctan(\frac{G_y}{G_x})$

장점: Laplacian에 비해 노이즈에 강하며, 수평/수직 방향 엣지를 잘 감지

단점: 대각선 방향 엣지 검출에 약함

• 커널 계산 방법

  다음과 같은 3x3 픽셀 이미지가 있다고 하자. $f =$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

  각 위치에서 커널과 이미지의 해당 픽셀 부분을 곱한 후 결과를 모두 더한다.

  그러면 x축 방향 소벨 필터를 적용한다고 할 때, $G_x=\begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & +2 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix}$이므로

  1x-1 + 2x0 + 3x1 + 1x-2 + 2x0 + 3x2 + 1x-1 + 2x0 + 3x1 = (-1) + 0 + 3 + (-2) + 0 + 6 + (-1) + 0 + 3 = (-4) + 12 = 8 이다. 이 값을 중앙 픽셀에 적용하면 된다.

  즉, x방향 소벨 필터 적용 결과는 $f’ = \begin{bmatrix} 0 & 8 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{bmatrix}$이 될 것이다. 같은 방식으로 y축 방향 소벨 필터 적용 결과를 구하면 $f’ = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ 이 된다.

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3. Scharr filter

sobel filter와 마찬가지로 x축, y축 방향 미분을 계산한다.

• x축 방향 슈마르 필터

$G_x=\begin{bmatrix} -3 & 0 & +3 \\ -10 & 0 & +10 \\ -3 & 0 & +3 \end{bmatrix}$

• y축 방향 슈마르 필터

$G_y=\begin{bmatrix} -3 & -10 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3 & +10 & +3 \end{bmatrix}$

장점: Sobel filter와 유사하나, 더 정확한 gradient 계산 제공 (커널의 가중치가 edge direction에 대한 정확한 정보를 포착하는 데 더 적합하게 설계) → 고해상도 이미지에서 미세한 엣지를 정확히 검출하고자 할 때 사용

단점: Sobel filter에 비해 계산 비용이 높음

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sobel filter와 유사하다. (커널 값 차이)

• x축 방향 프리윗 필터

$G_x=\begin{bmatrix} +1 & 0 & -1 \\ +1 & 0 & -1 \\ +1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

• y축 방향 프리윗 필터

$G_y=\begin{bmatrix} +1 & +1 & +1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

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5. Roberts cross filter

대각선 방향 엣지에 민감하며, 2x2 커널을 사용하고 연산 속도가 빠르다.

$R=\begin{bmatrix} +1 & 0 \\ +0 & -1 \end{bmatrix}$ 또는 $R=\begin{bmatrix} 0 & +1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

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6. Canny Edge

sobel filter와 NMS(Non-Maximum Supression)을 사용하여 더 선명한 엣지를 검출한다.

Gaussian Filter → gradient 계산(sobel filter 사용) → Non-Maximum Suppression → Double Thresholding → Hysteresis

Non-Maximum Suppression : 엣지가 아닌 픽셀을 제거한다. 각 픽셀에서 그래디언트 방향을 따라 그래디언트 크기가 local maximum 값인지 확인한다. local maximum이 아니면 엣지가 아니라고 판단하고 제거한다.

Double Tresholding : 강한 엣지와 약한 엣지 구분을 위해 두 개의 임계값을 설정한다. 강한 엣지는 높은 임계값보다 큰 그래디언트를 가진 픽셀, 약한 엣지는 두 임계값 사이의 그래디언트를 가진 픽셀이다.

Hysteresis ****: 약한 엣지 중 강한 엣지와 연결된 픽셀만 엣지로 간주한다. 이를 통해 false edge를 제거한다.

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필터별 Edge 검출 결과 비교

# Laplacian filter
laplacian = cv2.Laplacian(img,cv2.CV_64F)
abs_laplacian = cv2.convertScaleAbs(laplacian)

# sobel filter
sobelx = cv2.Sobel(img,cv2.CV_64F,1,0,ksize=5)
sobely = cv2.Sobel(img,cv2.CV_64F,0,1,ksize=5)
abs_sobelx = cv2.convertScaleAbs(sobelx)
abs_sobely = cv2.convertScaleAbs(sobely)
sobel_combined = cv2.addWeighted(abs_sobelx, 0.5, abs_sobely, 0.5, 0)

# scharr filter
scharrx = cv2.Scharr(img, cv2.CV_64F, 1, 0)
scharry = cv2.Scharr(img, cv2.CV_64F, 0, 1)
abs_scharrx = cv2.convertScaleAbs(scharrx)
abs_scharry = cv2.convertScaleAbs(scharry)
scharr_combined = cv2.addWeighted(abs_scharrx, 0.5, abs_scharry, 0.5, 0)

# prewitt filter
prewittx = np.array([[1, 0, -1], [1, 0, -1], [1, 0, -1]])
prewitty = np.array([[1, 1, 1], [0, 0, 0], [-1, -1, -1]])

img_prewittx = cv2.filter2D(img, -1, prewittx)
img_prewitty = cv2.filter2D(img, -1, prewitty)

img_prewitt = img_prewittx + img_prewitty

## roberts filter
robertsx = np.array([[1, 0], [0, -1]])
robertsy = np.array([[0, 1], [-1, 0]])

img_robertsx = cv2.filter2D(img, -1, robertsx)
img_robertsy = cv2.filter2D(img, -1, robertsy)

img_roberts = img_robertsx + img_robertsy

# canny edge 
edges = cv2.Canny(img, 100, 200)