복습
앞서 배운 DFS/BFS와 최단 경로는 그래프 알고리즘의 한 유형.
이번 장에서 다룰 알고리즘은 앞서 배운 내용 기반!
크루스칼 알고리즘(Kruskal Algorithms): 그리디 알고리즘의 한 유형위상 정렬 알고리즘(Topology Algorithms: 큐 자료구조 or 스택 자료구조를 활용해 구현
📌 문제에서 '서로 다른 개체가 연결되어 있다'는 내용이 있으면 가장 먼저 그래프 알고리즘 떠올리기!!
⭐ 그래프 자료구조 중 트리 자료구조는 다양한 알고리즘에 사용되므로 꼭 기억하기!!
앞서 배운 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 우선순위 큐를 사용했는데, 우선순위 큐를 구현하기 위해 최소힙/최대힙을 이용했다.
➡️ 최소 힙은 항상 부모 노드가 자식 노드보다 크기가 작은 자료구조로서 트리 자료구조에 속한다.
트리 자료구조는 부모→자식으로 내려오는 계층적인 모델이다.
트리는 수학에서는 무방향 그래프로 간주하지만, 컴퓨터공학 분야에서는 방향 그래프로 간주한다.
앞서 그래프의 구현 방법에는 2가지가 있다고 했다. 두 방식은 메모리와 속도 측면에서 구별된다는 점 기억하기!
(V: 노드 개수, E: 간선 개수)
-
인접 행렬(Adjacency Matrix): 2차원 배열을 사용하는 방식
-
간선 정보를 저장하기 위해
O(V²)만큼의 메모리 공간 필요 -
👍특정 노드 A에서 다른 특정 노드 B로 이어진 간선의 비용을
O(1)시간으로 즉시 알 수 있다. -
플로이드 워셜 알고리즘은 인접 행렬을 이용
- 모든 노드에 대해 다른 노드로 가는 최소 비용을 V² 크기의 2차원 리스트에 저장한 뒤에, 해당 비용을 갱신해서 최단 거리를 계산
-
-
인접 리스트(Adjacency List): 리스트를 사용하는 방식
-
간선의 개수만큼인
O(E)만큼만 메모리 공간 필요 -
특정 노드 A에서 다른 특정 노드 B로 이어진 간선의 비용을 알려면
O(V)만큼의 시간이 소요된다. -
우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 인접 리스트를 이용
- V개의 리스트를 만들어서 각 노드와 연결된 모든 간선에 대한 정보를 리스트에 저장
-
📌 메모리와 시간을 염두에 두고 알고리즘을 선택해서 구현해야 한다!
예를 들어, 최단 경로를 찾아야하는 문제가 있을 때, 노드의 개수가 적은 경우에는 플로이드 워셜 알고리즘을, 노드와 간선의 개수가 많은 경우에는 우선순위 큐를 사용하는 다익스트라 알고리즘을 사용하면 유리하다.
서로소 집합 (Disjoint Sets)
: 공통 원소가 없는 두 집합
서로소 집합 자료구조
: 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
union & find 연산으로 조작 가능 ➡️ 서로소 집합 자료구조를 union-find 자료구조라고도 부른다.
union(합집합): 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산find: 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
두 집합이 서로소 관계인지 확인할 수 있다. = 각 집합이 어떤 원소를 공통으로 가지고 있는지 확인할 수 있다.
서로소 집합 정보(합집합 연산)가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘을 살펴보자!
-
union 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
a. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
b. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (B'가 A'를 가리키도록 한다.)
📌 실제로 구현할 때는 A'와 B'중에서 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록
- 모든 union 연산을 처리할 때까지
1을 반복한다.
union 연산을 그래프 형태로 표현할 수 있다.
✅ union 연산을 토대로 그래프를 그리면 연속성으로 손쉽게 집합 형태 확인 가능
- 각 원소는 그래프에서의 노드
- '같은 집합에 속한다'는 정보를 담은 union 연산들은 간선
union의 관계를 효과적으로 보여주기 위해 그래프 형태로 시각화하는 것!
실제로 각 원소의 집합 정보를 표현하려면트리 자료구조
➡ 서로소 집합을 표현할 때는 번호가 큰 노드가 번호가 작은 노드를 간선으로 가리키도록 트리 구조
➡ 번호가 작은 노드가 부모, 번호가 큰 노드가 자식
📌 union 연산을 하나씩 확인하면서 서로 다른 두 원소에 대해 합집합(union)을 수행해야 할 때는, 각각 루트 노드를 찾아서 더 큰 루트 노드가 더 작은 루트 노드를 가리키도록 하면 된다.
📌 union 연산을 효과적으로 수행하기 위해 부모 테이블을 항상 가지고 있어야 한다.
➡ 서로소 집합 알고리즘으로 루트를 찾기 위해서는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가야 한다.
자세한 과정은 책 p.270~272
기본적인 서로소 집합 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')
'''
입력 예시
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6
출력 예시
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5
부모 테이블: 1 1 2 1 5 5
'''<코드 부연 설명>
루트 노드가 같은 원소끼리는 동일한 집합을 이룬다.
👎 하지만 위의 코드는 find 함수가 비효율적으로 동작! 모든 노드를 다 확인하기 때문에(부모 노드를 거슬러 올라가기 때문에) O(V)
➡ 노드의 개수 V개이고 find 혹은 union 연산의 개수가 M개일 때, 전체 시간 복잡도는 O(VM) 비효율적!!
이러한 비효율적인 find 함수는 경로 압축 기법을 적용하면 간단하게 최적화할 수 있다.
경로 압축 (Path Compression)
: find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블값을 갱신하는 기법
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]위의 코드와 달리 x를 리턴하는 것이 아니라 parent[x]를 리턴!
➡ 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다!
👍 루트 노드에 더욱 빠르게 접근할 수 있다는 점에서 위의 기본적인 알고리즘과 비교했을 때 시간 복잡도가 개선된다.
꼭 기억해두자!!
개선된 서로소 집합 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')
'''
입력 예시
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6
출력 예시
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5
부모 테이블: 1 1 1 1 5 5
'''노드의 개수가 V개이고, 최대 V - 1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때
O(V + M(1 + log_(2-M/V)V) 시간복잡도
서로소 집합을 활용한 사이클 판별
서로소 집합은 다양한 알고리즘에 사용될 수 있는데, 특히 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다!
참고) 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용해 판별 가능
union 연산은 그래프에서의 간선으로 표현 가능
➡ 간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복하는 것만으로도 사이클 판별 가능
-
각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드 확인
a. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산 수행
b. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것! -
그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여
1반복
자세한 과정은 책 p.278
정리하자면 사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대해 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작한다.
✅ 이 알고리즘은 방향이 없는 무향 그래프에만 적용 가능!
서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클이 발생했습니다.")
else:
print("사이클이 발생하지 않았습니다.")
'''
입력 예시
3 3
1 2
1 3
2 3
출력 예시
사이클이 발생했습니다.
'''--
신장 트리 (Spanning Tree)
: 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 해서 이름이
신장 트리
크루스칼 알고리즘 (Kruskal Algorithm)
✅ 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘 (그리디 알고리즘으로 분류된다.)
최소 신장 트리 알고리즘: 신장 트리 중 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘
먼저 모든 간선에 대해 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시키면 된다. 이때 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함시키지 않는다.
-
간선 데이터를 비용에 따라 오름차순 정렬
-
간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
a. 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
b. 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다. -
모든 간선에 대해
2반복
자세한 과정은 책 p.283~288
최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수는
노드의 개수 - 1(트리 자료구조이기 때문)
💡 크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하는 것!
하지만 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결!
➡ 항상 최적의 해 보장
크루스칼 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)
'''
입력 예시
7 9
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25
출력 예시
159
'''간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE) 시간 복잡도
- 가장 오래 걸리는 부분이 간선 정렬 작업인데, E개의 데이터를 정렬했을 때의 시간 복잡도가 O(ElogE)
- 크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시한다.
위상 정렬 (Topology Sort)
: 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것
➡️ 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘! (ex. 선수과목)
📌 그래프상에서 선후관계가 있다면, 위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있다!
위상 정렬 알고리즘 과정
-
진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
진입차수(Indegree): 특정한 노드로 '들어오는' 간선의 개수
-
큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
a. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
b. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
자세한 과정은 책 p.292~295
알고리즘을 보면 큐가 빌 때까지 큐에서 원소를 계속 꺼내서 처리하는 과정을 반복한다. 이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
정리하자면 큐에서 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비어버리면 사이클이 발생한 것이다.
사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문이다.
위상 정렬의 답은 여러 가지가 될 수 있다는 특징이 있다.
위상 정렬 소스코드
from collections import deque
# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
# 진입 차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end=' ')
topology_sort()위상 정렬을 수행할 때 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다.
➡️ 위상 정렬은 모든 노드와 간선을 확인하기 때문에 시간 복잡도는 O(V + E)이다.
실전 문제
Q1. 팀 결성
난이도: 🌹🌹
풀이시간: 20분
시간제한: 2초
메모리제한: 128MB
기출: 핵심 유형
학교에서 학생들에게 0번부터 N번까지의 번호를 부여했다. 처음에는 모든 학생이 서로 다른 팀으로 구분되어, 총 N + 1개의 팀이 존재한다. 이때 선생님은 '팀 합치기' 연산과 '같은 팀 여부 확인' 연산을 사용할 수 있다.
- '팀 합치기' 연산은 두 팀을 합치는 연산이다.
- '같은 팀 여부 확인' 연산은 특정한 두 학생이 같은 팀에 속하는지 확인하는 연산이다.
선생님이 M개의 연산을 수행할 수 있을 때, '같은 팀 여부 확인' 연산에 대한 연산 결과를 출력하는 프로그램을 작성하시오.
입력 조건
- 첫째 줄에 N,M이 주어진다. M은 입력으로 주어지는 연산의 개수이다. (1 ≤ N,M ≤ 100,000)
- 다음 M개의 줄에는 각각의 연산이 주어진다.
- '팀 합치기' 연산은 0 a b 형태로 주어진다. 이는 a번 학생이 속한 팀과 b번 학생이 속한 팀을 합친다는 의미이다.
- '같은 팀 여부 확인' 연산은 1 a b 형태로 주어진다. 이는 a번 학생과 b번 학생이 같은 팀에 속해 있는지를 확인하는 연산이다.
- a와 b는 N 이하의 양의 정수이다.
출력 조건
- '같은 팀 여부 확인' 연산에 대해 한 줄에 하나씩 YES 혹은 NO로 결과를 출력한다.
<해설>
전형적인 서로소 집합 알고리즘 문제!
N과 M의 범위가 모두 최대 100,000이기 때문에 경로 압축 방식의 서로소 집합 자료구조를 이용해 시간 복잡도를 개선해야 한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
n, m = map(int, input().split())
parent = [0] * (n + 1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(0, n + 1):
parent[i] = i
# 각 연산을 하나씩 확인
for i in range(m):
oper, a, b = map(int, input().split())
# 합치합(Union) 연산인 경우
if oper == 0:
union_parent(parent, a, b)
# 찾기(Find) 연산인 경우
elif oper == 1:
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
print('YES')
else:
print('NO')Q2. 도시 분할 계획
난이도: 🌹🌹
풀이시간: 40분
시간제한: 2초
메모리제한: 256MB
기출: 기초 문제집
출처: https://www.acmicpc.net/problem/1647
마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있고, 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.
마을의 이장은 마을을 2개의 분리된 마을로 분할할 계획을 세우고 있다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.
마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 되면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력 조건
- 첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2 이상 100,000 이하인 정수이고, M은 1 이상 1,000,000 이하인 정수이다.
- 그다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A,B,C 3개의 정수로 공백으로 구분되어 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C(1≤C≤1,000)라는 뜻이다.
출력 조건
- 첫째 줄에 길을 없애고 남은 유지비 합의 최솟값을 출력한다.
<해설>
💡핵심 아이디어: 전체 그래프에서 2개의 최소 신장 트리 만들기
➡️ 크루스칼 알고리즘으로 최소 신장 트리를 찾은 뒤에 최소 신장 트리를 구성하는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선을 제거하기!
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
last = 0 # 최소 신장 트리에 포함되는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
last = cost
print(result - last)Q3. 커리큘럼
난이도: 🌹🌹🌹
풀이시간: 50분
시간제한: 2초
메모리제한: 128MB
기출: 핵심 유형
온라인으로 컴퓨터공학 강의를 듣고 있다. 이때 각 온라인 강의는 선수 강의가 있을 수 있는데, 선수 강의가 있는 강의는 선수 강의를 먼저 들어야만 해당 강의를 들을 수 있다.
총 N개의 강의를 들으려고 한다. 모든 강의는 1번부터 N번까지의 번호를 가진다. 또한 동시에 여러 개의 강의를 들을 수 있다고 가정한다.
듣고자 하는 N개의 강의 정보가 주어졌을 때, N개의 강의에 대해 수강하기까지 걸리는 최소 시간을 각각 출력하는 프로그램을 작성하시오.
입력 조건
- 첫째 줄에 듣고자 하는 강의의 수 N(1≤N≤500)이 주어진다.
- 다음 N개의 줄에는 각 강의 시간과 그 강의 시간을 듣기 위해 먼저 들어야 하는 강의들의 번호가 자연수로 주어지며, 각 자연수는 공백으로 구분한다. 이때 강의 시간은 100,000 이하의 자연수이다.
- 각 강의 번호는 1부터 N까지로 구성되며, 각 줄은 -1로 끝난다.
출력 조건
- N개의 가으이에 대해 수강하기까지 걸리는 최소 시간을 한 줄에 하나씩 출력한다.
# 입력 예시
5
10 -1
10 1 -1
4 1 -1
4 3 1 -1
3 3 -1
# 출력 예시
10
20
14
18
17<해설>
위상 정렬 알고리즘의 응용문제!
- 각 노드(강의)에 대하여 인접한 노드를 확인할 때, 인접한 노드에 대하여 현재보다 강의 시간이 더 긴 경우를 찾는다면, 더 오랜 시간이 걸리는 경우의 시간 값을 저장하는 방식으로 결과 테이블을 갱신하여 답을 구할 수 있다.
➡️ 위상 정렬을 수행하면서, 매번 간선 정보를 확인하여 결과 테이블을 갱신!
<소스코드 설명>
-
result 리스트(결과 테이블): 최종적으로 각 강의를 수강하기까지의 최소 시간
-
time 리스트: 각 강의 시간
-
위상 정렬 함수의 초기 부분에서
deepcopy()함수를 이용하여 time 리스트 변수의 값을 복사해 result 리스트 변수의 값으로 설정하는 작업 수행
📌 리스트의 경우, 단순히 대입 연산을 하면 값이 변경될 때 문제가 발생할 수 있으므로, 리스트의 값을 복제해야 할 때는 deepcopy() 함수를 사용한다는 것 기억하기!
from collections import deque
import copy
# 노드의 개수 입력받기
v = int(input())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 각 강의 시간을 0으로 초기화
time = [0] * (v + 1)
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for i in range(1, v + 1):
data = list(map(int, input().split()))
time[i] = data[0] # 첫 번째 수는 시간 정보를 담고 있음
for x in data[1:-1]:
indegree[i] += 1
graph[x].append(i)
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = copy.deepcopy(time) # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
result[i] = max(result[i], result[now] + time[i])
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in range(1, v + 1):
print(result[i])
topology_sort()