- 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
- '길 찾기' 문제라고도 부름
- 사례
- 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우 ➡️
다익스트라 - 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우 ➡️
플로이드 워셜 - 등등
- 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우 ➡️
📌 실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다.
컴퓨터공학 학부에서 사용하는 최단 거리 알고리즘은 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘이 있다.
➡️ 이 중에서 코딩 테스트에서 많이 등장하는 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘만 다룬다.
그리디 알고리즘과 DP 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다.
➡️ 최단경로는 그리디 알고리즘과 DP 알고리즘의 한 유형으로 볼 수 있다.
1. 다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘
(다익스트라의 정확한 외래어 표기는 데이크스트라이다. 어떤 문서에는 데이크스트라라고 표기)
: 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
📌 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 작동한다.
음의 간선: 0보다 작은 값을 가지는 간선
참고) 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.
⭐ 다익스트라 최단 경로 알고리즘 코드 숙달해야 함!!!
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘!
➡️ 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복!
- 출발 노드 설정
- 최단 거리 테이블 초기화
- 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블 갱신
3,4반복
다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트(➡️ 최단 거리 테이블)에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.
매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선 확인!
알고리즘을 구현해보자!!
1-1) 간단한 다익스트라 알고리즘
시간복잡도: O(V^2) (V는 노드 개수)
- 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트 선언
- 단계마다
방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)
1차원 리스트에 '최단 경로' 없이 '최단 거리'만을 저장한다. 최단 경로를 구하려면 코드 수정 필요! (뒤에 나옴)
📌 입력되는 데이터의 수가 많을 수 있으므로 sys.std.readline()을 사용한다.
📌 DFS/BFS에서와 마찬가지로 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)의 크기로 할당하고, 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 한다.
➡️ 그래프 표현할 때 많이 사용하는 일반적인 코드 작성법
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
else:
print(distance[i])# 입력 예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2
# 출력 예시
0
2
3
1
2
4간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도
총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인! ➡️ O(V²)
🤔 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 방법 사용 가능하지만, 노드의 개수가 10,000개가 넘어가면 이 코드로는 해결하기 어렵다.
➡️ 노드의 개수 및 간선의 개수가 많을 때는 밑에 나오는 개선된 다익스트라 알고리즘을 사용해야 한다.
1-2) 개선된 다익스트라 알고리즘 (우선순위 큐)
시간복잡도: O(ElogV) (V: 노드 개수, E: 간선 개수)
힙(heap) & 우선순위 큐(Priority Queue)
개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙 자료구조를 사용한다.
➡️ 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다!
힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나!
우선순위 큐: 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
➡️ 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용
📌 대부분의 프로그래밍 언어에서는 우선순위 큐 라이브러리를 지원! 우리가 직접 힙 자료구조부터 작성해서 우선순위 큐를 구현할 필요는 없다.
➡️ PriorityQueue or heapq 사용 가능! 일반적으로 heapq가 빠르게 동작하기 때문에 수행 시간이 제한된 상황에선 heapq를 사용하자!
우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수 사용!
📌 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면
첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정한다.
예를 들어, (거리, 노드 번호)으로 데이터가 구성된다면 '거리'값이 우선순위 값!
우선순위를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min Heap) 혹은 최대 힙(Max Heap)을 이용한다.
- 최소 힙을 이용하는 경우,
값이 낮은 데이터가 먼저 삭제된다. - 최대 힙을 이용하는 경우,
값이 큰 데이터가 먼저 삭제된다.
📌 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용
➡️ 다익스트라에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 파이썬 라이브러리 그대로 사용하면 됨!
➡️ 우선순위 큐를 이용해 시작 노드로부터 '거리'가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 알고리즘 작성!
최소 힙을 최대 힙처럼 사용하려면 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리면 된다.
우선순위 큐를 구현할 때, 힙 자료구조 말고도 리스트를 이용할 수 있다.
-
리스트를 이용하면 삭제할 때마다 모든 원소를 확인해서 우선순위가 가장 높은 것을 찾아야 하므로 최악의 경우
O(N)→ 전체 시간 복잡도O(N²) -
힙 자료구조에 N개의 데이터를 모두 넣은 뒤에 다시 모든 데이터를 꺼낸다고 했을 때, 삽입/삭제에 각각 N * O(logN) =
O(NlogN)→ 2Nlog₂N → 전체 시간 복잡도O(NlogN)이는 힙 정렬(Heap Sort)의 원리. 힙 정렬 구현 소스코드는 부록의 문법 파트 확인하기!
➡️ 대부분의 경우 힙을 이용했을 때 훨씬 빠르게 동작!
➡️ 힙을 이용하는 경우 모든 원소를 저장한 뒤에 우선순위에 맞게 빠르게 뽑아낼 수 있으므로 힙은 우선순위 큐를 구현하는 데 가장 많이 사용!
📌 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트(최단 거리 테이블)
📌 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위해 우선순위 큐 (➡️ 앞의 간단한 다익스트라의 get_smallest_node() 함수를 대체한 것)
자세한 과정은 책 p.242~247
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도
O(ElogV) ➡️ 간단한 다익스트라 알고리즘에 비해 훨씬 빠르다.
-
한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않는다.
➡️ 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 while문은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다. -
V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다.
➡️ 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
정리하자면 전체 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 우선순위 큐를 이용한다는 점에서 우선순위 큐를 필요로 하는 다른 문제 유형과도 흡사!
➡️ 다른 문제에도 두루 적용되는 소스코드 형태 (ex. 최소 신장 트리 문제에서 Prim 알고리즘 구현)
2. 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘
: 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용하는 알고리즘
다익스트라 vs. 플로이드 워셜
다익스트라
- 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택
- 해당 노드를 거쳐가는 경로를 확인하며, 최단 거리 테이블 갱신
- 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트 이용
- 그리디 알고리즘
플로이드 워셜
- 단계마다
거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘 수행
➡️ 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점에서 차이! - 모든 노드에 대해 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 저장해야 하기 때문에
2차원 리스트이용 다이나믹 프로그래밍- 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문
플로이드 워셜 알고리즘의 시간 복잡도
노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N²)의 연산(2차원 리스트이기 때문)을 통해 '현재 노드를 거쳐가는' 모든 경로를 고려한다.
➡️ 전체 시간 복잡도 O(N³)
플로이드 워셜 알고리즘의 과정
각 단계에서는 해당 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다.
- 예를 들어 1번 노드에 대해 확인할 때는 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려하면 된다.
- A → 1번 노드 → B로 가는 비용을 확인한 후에 최단거리를 갱신
따라서 알고리즘에서는 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N - 1개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A, B)쌍을 선택한다. ➡️ (N-1)_P_2개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인!
점화식
3중 반복문을 이용해 위의 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갱신한다.
📌
바로 이동하는 거리가특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리보다 더 많은 비용을 가진다면 더 짧은 후자로 갱신
자세한 과정은 책 p.253~257
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == INF:
print("INFINITY", end=" ")
# 도달할 수 있는 경우 거리 출력
else:
print(graph[a][b], end=" ")
print()# 입력 예시
4
7
1 2 4
1 4 6
2 1 3
2 3 7
3 1 5
3 4 4
4 3 2
# 출력 예시
0 4 8 6
3 0 7 9
5 9 0 4
7 11 2 0실전 문제
Q1. 미래 도시
난이도: ⭐⭐
풀이시간: 40분
시간제한: 1초
메모리제한: 128MB
기출: M 기업 코딩 테스트
A는 많은 회사가 모여 있는 공중 미래 도시에 있다. 이 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.
공중 미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.
A는 소개팅에 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다. A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아갈 예정이다. 따라서 A는 1번 회사에서 출발해 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표다.
A가 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.
입력 조건
- 첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1≤N,M≤100)
- 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.
- M + 2번째 줄에는 X와 K가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1≤K≤100)
출력 조건
- 첫째 줄에 A가 K번 회사를 거쳐 X번 회사로 가는 최소 이동 시간을 출력한다.
- 만약 X번 회사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.
# 입력 예시 1
5 7
1 2
1 3
1 4
2 4
3 4
3 5
4 5
4 5
# 출력 예시 1
3
# 입력 예시 2
4 2
1 3
2 4
3 4
# 출력 예시 2
-1<입력 예시 1에 대한 설명>
A가 최종적으로 4번 회사에 가는 경로를 (1번 - 3번 - 5번 - 4번)으로 설정하면 총 3만큼의 시간으로 이동할 수 있다.
<해설>
전형적인 플로이드 워셜 알고리즘 문제!
N의 범위가 100 이하로 매우 한정적!
➡️ 플로이드 워셜을 이용해도 빠르게 풀 수 있기 때문에, 구현이 간단한 플로이드 워셜 알고리즘을 이용하는 것이 유리!
💡핵심 아이디어: 1번 노드에서 X를 거쳐 K로 가는 최단 거리 = (1번 노드에서 X까지의 최단 거리 + X에서 K까지의 최단 거리)
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
a, b = map(int, input().split())
graph[a][b] = 1
graph[b][a] = 1
# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]
# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= INF:
print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
print(distance)Q2. 전보
난이도: ⭐⭐⭐
풀이시간: 60분
시간제한: 1초
메모리제한: 128MB
기출: 유명 알고리즘 대회
어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다. 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다. 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.
C라는 도시에서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다. 메시지는 도시 C에서 출발해 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다.
각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.
입력조건
-
첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다. (1≤N≤30,000, 1≤M≤200,000, 1≤C≤N)
-
둘째 줄부터 M + 1번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 X,Y,Z가 주어진다. 이는 특정 도시 X에서 다른 특정 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며, 메시지가 전달되는 시간이 Z라는 의미이다. (1≤X,Y≤N, 1≤Z≤1,000)
출력조건
- 첫째 줄에 도시 C에서 보낸 메시지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분하여 출력한다.
# 입력 예시
3 2 1
1 2 4
1 3 2
# 출력 예시
2 4<해설>
N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에, 우선순위 큐를 이용하여 다익스트라 알고리즘을 작성해야 한다!
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
x, y, z = map(int, input().split())
# x번 노드에서 y번 노드로 가는 비용이 z라는 의미
graph[x].append((y, z))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
# 도달할 수 있는 노드인 경우
if d != INF:
count += 1
max_distance = max(max_distance, d)
# 시작 노드를 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)