[Complex Analysis] 복소수 대수,기하적 성질

YeonSeong·2021년 10월 17일
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Complex Analysis

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Complex field

x2+1=0x^2 + 1 = 0 의 해는 실수영역에서 찾을 수 없다. 그래서 우리는 이 해를 i=1i= \sqrt{-1} imaginary unit이라고 부르기로 했어요. 그게 수학적 약속이여가지고..

z=a+ib,(a,bR)z = a + ib, (a,b \in R ) 이런식으로 나타내고 복소수(complex number)라고 한다.

aa는 실수영역을 나타내고 bb는 허수영역을 나타낸다.

Rectangular representation

z=x+yiz= x + yi

complex plane에서 실수축과 허수축을 나타낼 수 있다.

x=Re zx = Re \space z, y=Im zy = Im \space z 이고, 실수영역과 허수영역이라고 부른다.

z=x=yi\overline{z} =x =yi zz의 켤레복소수(conjugate)라고 한다.

z=x2+y2|z|= \sqrt{x^2 + y^2} 이라고 정의한다.

기억할만한 성질

a,ba,b가 0이 아닐때,

z1=1z=zzz=zz2=aiba2+b2z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}

Polar representation

a,ba,b가 0이 아닐때, 다음과 같이 나타낼 수 도 있다.

z=r(cosθ+isinθ)z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})

arg z={all arguments of z}arg \space z = \{all \space arguments \space of \space z\}

기억할만한 성질

zk=rk(cosθk+isinθk)z_k = r_k(\cos{\theta_k} + i\sin{\theta_k}) for k=1,2,...,nk = 1,2, ... ,n, then

z1z2...zn=r1r2...rn[cos(θ1+θ2+...+θn)+isin(θ1+θ2+...+θn)]z_1z_2...z_n = r_1r_2...r_n[\cos{(\theta_1 + \theta_2 + ... + \theta_n)} + i\sin{(\theta_1 + \theta_2 + ... + \theta_n)}]

DeMoivre's Theorem

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(\cos{\theta} + i\sin{\theta})^n = \cos{n\theta} + i\sin{n\theta}
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