어떤 집합 $F$에서 정의된 두 이항 연산 $A$ ,$B$에 대해
1. $A, B$는 닫힘성을 만족
2. $A, B$는 교환법칙이 성립
3. $A, B$는 결합법칙이 성립
4. $A, B$는 항등원이 있음 ( 보통 편의상 각각 $0, 1$ 이라고 한다. )
5. $0 \ne 1$
6. $A$는 역원이 항상 있음
7. $B$는 $A$의 항등원( $0$ )에 대한 역원이 없음. 그 외엔 항상 역원이 있음.
8. $B$는 $A$에 대해 분배법칙이 성립

위 공리(axiom)을 모두 만족하면 집합 $F$는 연산 $A, B$에 대해 체이다.

정수, 실수, 복소수는 덧셈, 곱셈에 대해 체이다.

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용어설명

닫힘성

집합 $F$의 두 원소 $a, b$에 연산을 적용한 결과 또한 집합 $F$에 속하는 성질
예를 들어 자연수에서의 덧셈은 닫힌 연산이다.

교환법칙

$a + b = b + a$

결합법칙

연산의 순서를 바꿔도 결과가 동일한 성질
$(a + b)+c = a+(b+c)$

분배법칙

좌분배법칙 :
$a * (b + c) = (a*b) + (a*c)$
우분배법칙 :
$(a + b)*c = (a*c) + (b*c)$

죄분배법칙과 우분배법칙을 모두 만족할 경우 분배법칙을 만족한다.
위의 경우 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙이 성립한다.

항등원

$a + 0 = a$
에서 $0$처럼 연산으로 인해 다른 피연산자를 바꾸지 않는 수

역원

연산 결과가 항등원이 되게끔 만드는 수

덧셈에서 $a$의 역원은 $-a$이다. 두 수를 더했을 때 덧셈의 항등원인 $0$이 나오기 때문이다.