코드 상에는 큰 문제가 없어 보입니다. 하지만 한글이 깨지는 이유는, API 서버에서 보내준 응답 데이터의 인코딩 설정이 UTF-8이 아닌 경우일 가능성이 있습니다. 이 경우, 서버에서 보내준 인코딩 설정을 수동으로 지정하여야 합니다.
response.setCharacterEncoding("utf-8"); // 출력 인코딩 설정
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(con.getInputStream(), "UTF-8")); // 수신 인코딩 설정
