지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.
어느 날 짓궂은 동주가 지원이의 공부를 방해하기 위해 0이 쓰여진 낱장의 타일들을 붙여서 한 쌍으로 이루어진 00 타일들을 만들었다. 결국 현재 1 하나만으로 이루어진 타일 또는 0타일을 두 개 붙인 한 쌍의 00타일들만이 남게 되었다.
그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.
우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.
첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000)
첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.
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#include <iostream>
#define MAX 1000001
using namespace std;
long long DP[MAX];
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
DP[1] = 1;
DP[2] = 2;
for(int i = 3; i <= MAX; i++){
DP[i] = DP[i - 1] % 15746 + DP[i - 2] % 15746;
}
int N;
cin >> N;
cout << DP[N] % 15746 << '\n';
}
DP 테이블을 갱신하는 과정에서 15746 모듈러 연산을 하는 이유는 데이터가 쌓일 수록 범위를 벗어나기 때문이라고 한다. 한동안 궁금했던 문제.
이 문제는 노트에 몇 번 그려보면 쉽게 점화식을 찾을 수 있다.
N | 가능한 이진수열 | 갯수 |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
2 | 00,11 | 2 |
3 | 100,001,111 | 3 |
4 | 0011,0000,1001,1100,1111 | 5 |
5 | 10011,00111,10000,00001,00100,11001,11100,11111 | 8 |
3부터는 DP[i] = DP[i-1] + DP[i-2] 라는 규칙을 확인할 수 있다. 생성되는 모습을 보았을 때 이전에 있던 데이터에서 아주 약간의 변화가 있을 뿐, 갱신되는 것을 눈으로 확인할 수 있다.