2096번 - 내려가기

1. 문제

N줄에 0 이상 9 이하의 숫자가 세 개씩 적혀 있다. 내려가기 게임을 하고 있는데, 이 게임은 첫 줄에서 시작해서 마지막 줄에서 끝나게 되는 놀이이다.

먼저 처음에 적혀 있는 세 개의 숫자 중에서 하나를 골라서 시작하게 된다. 그리고 다음 줄로 내려가는데, 다음 줄로 내려갈 때에는 다음과 같은 제약 조건이 있다. 바로 아래의 수로 넘어가거나, 아니면 바로 아래의 수와 붙어 있는 수로만 이동할 수 있다는 것이다. 이 제약 조건을 그림으로 나타내어 보면 다음과 같다.

별표는 현재 위치이고, 그 아랫 줄의 파란 동그라미는 원룡이가 다음 줄로 내려갈 수 있는 위치이며, 빨간 가위표는 원룡이가 내려갈 수 없는 위치가 된다. 숫자표가 주어져 있을 때, 얻을 수 있는 최대 점수, 최소 점수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 점수는 원룡이가 위치한 곳의 수의 합이다.

• Input

첫째 줄에 N(1 ≤ N ≤ 100,000)이 주어진다. 다음 N개의 줄에는 숫자가 세 개씩 주어진다. 숫자는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중의 하나가 된다.

• Output

첫째 줄에 얻을 수 있는 최대 점수와 최소 점수를 띄어서 출력한다.

2. 사용 알고리즘

• 다이나믹 프로그래밍 (DP)

3. 풀이

먼저 게임 판은 $N \times 3$ 크기의 행렬이라 할 수 있고,
게임 판이 갖는 모든 셀의 집합을 $U$, 각 행과 열은 $0$ 번째부터 시작한다고 하자.

$i$-번째 행 $j$-번째 열의 셀 $c_{i,j}$ 에 대해
(단, $i = 0, 1, ... n - 2, \ j = 0, 1, 2$)

1. $j = 0$ 일 때, 다음 내려갈 수 있는 셀은 $c_{i+1,0}$, $c_{i+1,1}$ 의 두 개
2. $j = 1$ 일 때, 다음 내려갈 수 있는 셀은 $c_{i+1,0}$, $c_{i+1,1}$, $c_{i+1,2}$ 의 세 개
3. $j = 2$ 일 때, 다음 내려갈 수 있는 셀은 $c_{i+1,1}$, $c_{i+1,2}$ 의 두 개

임을 문제 조건에서 확인할 수 있다.

이를 역으로 생각해보자.

임의의 셀 $c_{i,j}$ 에 대해
(단, $i = 1, 2, ... n - 1, \ j = 0, 1, 2$)

1. $j = 0$ 일 때, 이전의 셀은 $c_{i-1,0}$, $c_{i-1,1}$ 의 두 개
2. $j = 1$ 일 때, 이전의 셀은 $c_{i-1,0}$, $c_{i-1,1}$, $c_{i-1,2}$ 의 세 개
3. $j = 2$ 일 때, 이전의 셀은 $c_{i-1,1}$, $c_{i-1,2}$ 의 두 개

가 될 수 있음을 알 수 있다.

이와 같이 셀 $c_{i,j}$ 에 대해 이전의 셀이 될 수 있는 셀의 집합을 $A_{i,j}$ 라고 하자.

이어서 다음을 정의한다.

임의의 셀 $c_{i,j}$ 에 대해
1. 해당 셀이 갖는 값: $v_{i,j}$
2. 게임이 시작 후 해당 셀까지 도달할 때까지의 최대점수: $M_{i,j}$
3. 게임이 시작 후 해당 셀까지 도달할 때까지의 최소점수: $m_{i,j}$

집합 $U$ 의 부분집합 $P$ 에 대해
1. 모든 원소들의 최대점수의 최댓값: $\text{max} (P)$
2. 모든 원소들의 최소점수의 최솟값: $\text{min} (P)$

이때, 다음을 만족한다.

$M_{i,j} = v_{i,j} + \begin{cases} 0 & \text{if} \ i = 0 \\ \text{max} (A_{i,j}) & \text{if} \ 0 \lt i \lt n \end{cases}$

$m_{i,j} = v_{i,j} + \begin{cases} 0 & \text{if} \ i = 0 \\ \text{min} (A_{i,j}) & \text{if} \ 0 \lt i \lt n \end{cases}$

위와 같이 $N$ 개의 행에 대한 작업을 수행하고,
정답은 마지막 행의 셀 집합 $L = \{ c_{N-1,0}, c_{N-1,1}, c_{N-1,2} \}$ 에 대해

$\text{max} (L)$ 와 $\text{min} (L)$ 이다.

Key Point

이전 셀이 될 수 있는 셀들의 최소점수의 최솟값에 현재 셀의 값을 더한 값이 현재 셀에서의 최소점수이고,
이전 셀이 될 수 있는 셀들의 최대점수의 최댓값에 현재 셀의 값을 더한 값이 현재 셀에서의 최대점수이다.

4. 제출 코드

1차 [python]

메모리 초과 python

from sys import stdin
input = stdin.readline

n = int(input())
board = [list(map(int, input().split(' '))) for i in range(n)]
min_dp = [[0, 0, 0] for _ in range(n)]
max_dp = [[0, 0, 0] for _ in range(n)]

def upper_list(dp, x, y):
  l = []
  if x == 0: return [0]
  l.append(dp[x - 1][y])
  if y > 0: l.append(dp[x - 1][y - 1])
  if y < 2: l.append(dp[x - 1][y + 1])
  return l

for i in range(n):
  for j in range(3):
    cur = board[i][j]
    min_dp[i][j] = min(upper_list(min_dp, i, j)) + cur
    max_dp[i][j] = max(upper_list(max_dp, i, j)) + cur
    
print(max(max_dp[-1]), min(min_dp[-1]))

위 코드는 먼저 모든 입력을 board 라는 2차원 배열에 담고, min_dp, max_dp 라는 또다른 2차원 배열을 두개 만들어 진행되는 전형적인 DP 알고리즘으로 코딩하였다.

하지만 메모리 초과 ...

따라서 다음과 같이 코드를 수정하였다.

2차

맞았습니다!! python

from sys import stdin
input = stdin.readline

n = int(input())
min_dp = [0, 0, 0]
max_dp = [0, 0, 0]

for i in range(n):
  ipts = list(map(int, input().split(' ')))
  min_tp = min_dp[:]
  max_tp = max_dp[:]

  for j in range(3):
    f = max(0, j - 1)
    t = min(2, j + 1) + 1
    min_dp[j] = min(min_tp[f:t]) + ipts[j]
    max_dp[j] = max(max_tp[f:t]) + ipts[j]

print(max(max_dp), min(min_dp))

모든 input을 한 번에 다 담는 것은 주어진 문제의 메모리 제한을 만족하지 못했고, 2차 제출 코드에서는 한 줄을 받고 다음 줄을 받을 때, 이전 줄 값을 덮어씌워 메모리 낭비를 줄였다.

1차는 board 변수가 $N \times 3$ 의 크기를 가졌다면,
2차는 ipts 변수가 $3$ 의 크기만을 가지고 $N \times 3$ 의 데이터를 처리하도록 구현하였다.