17626번 Four Squares

문제

https://www.acmicpc.net/problem/17626
라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

풀이

문제를 읽어보면, 제곱 반복 수행 -> 문제 답 저장 후 해당 부분이 필요한 경우 저장된 결과를 사용 -> DP로 풀 수 있다는 것을 알 수 있다.

DP는 역시 규칙을 찾는게 어려운 것 같다..
n보다 작거나 같은 제곱수를 찾고 n-제곱수를 인덱스로 가진 값에 1을 더해주면 된다.

python으로는 통과가 안되니 pypy로 하자.

d[i - (j**2)] + 1

전체코드

n = int(input())
dp = [0, 1]
for i in range(2, n+1):
    min_ = 4
    j = 1
    while (j**2) <= i:
        min_ = min(min_, dp[i-j**2])
        j += 1
    dp.append(min_ + 1)
print(dp[n])

다른 풀이

다른 사람의 풀이를 보던 중 브루트포스로도 풀 수 있다는 것을 깨달았다. 이 코드는 python으로도 통과가 된다.

n = int(input())
arr = [0 if i**0.5%1 else 1 for i in range(n+1)] # 제곱수는 1로 저장

min_ = 4
for i in range(int(n**0.5), 0, -1):
    if arr[n] : # n이 제곱수일 경우
        min_=1
        break
    elif arr[n-i**2] : # 나머지가 제곱수일 경우
        min_=2
        break
    else:
        for j in range(int((n-i**2)**0.5), 0, -1):
            if arr[(n-i**2)-j**2]: # 제곱수를 한번 더 뺀 나머지가 제곱수일 경우
                min_=3
print(min_)